题目内容
如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．
（1）如图2，
⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你
求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．
（1）如图2，
⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你
求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分，
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.
如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点)，
∵ OX ＝BOsin∠ABM, P1Z＝BP1sin∠ABM．
当 BP1＞BO 时 ，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点.
（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，
即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结
论不影响后续评分）
这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE， （5分）
∴
.
∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝
.
设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x, PC＝PE，
∴
， ∴x＝
． （6分）
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC＝y，则
，
∴y=
. （7分）
③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，
设PF＝z，则
， ∴z=
. （8分）
由①，②，③可知：∵ ＞2，∴ ＋2＞＋1＞3，
∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，
(或者:∵x==2-4, y= =
5,
∴y-x=
>0, ∴y>x. ∵z-y=
>0)
∴
2， （9分，没有过程直接得出酌情扣1分）
∴ z＞y＞x. ∴⊙P的面积S的最大值为
. （10分）
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.
如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点)，
∵ OX ＝BOsin∠ABM, P1Z＝BP1sin∠ABM．
当 BP1＞BO 时 ，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点.
（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，
即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结
论不影响后续评分）这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE， （5分）
∴
.∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝
.设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x, PC＝PE，
∴
， ∴x＝ ． （6分）②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC＝y，则
，∴y=
. （7分）③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，
设PF＝z，则
， ∴z=. （8分）由①，②，③可知：∵
＞2，∴ ＋2＞＋1＞3，∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，
(或者:∵x=
=2-4, y= = 5, ∴y-x=
>0, ∴y>x. ∵z-y=>0)∴
2， （9分，没有过程直接得出酌情扣1分）∴ z＞y＞x. ∴⊙P的面积S的最大值为
. （10分）略
练习册系列答案
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内接于⊙
，若
＝30°，
，则⊙
O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.
,求BE的长
)．