Question

【题目】如图，△AOB是等腰直角三角形，直线BD∥OA，OB=OA=1，P是线段AB上一动点，过P点作MN∥OB，分别交OA、BD于M、N，PC⊥PO，交BD于点C．

（1）求证：OP=PC；

（2）当点C在射线BN上时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线BN上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形时的PM的值；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）s=m2﹣m+1（0≤m≤）.(3) 0或．

【解析】试题分析：（1）首先利用矩形的判定得出四边形OBNM为矩形，即可得出∠CPN=∠POM，进而得出△OPM≌△PCN，求出即可；

（2）利用S=S△OPB+S△PBC进而得出S与m的函数关系；

（3）利用①当点P与点A重合时，PC=BC=1，②如图②，当点C在OB下方，且PB=CB时，分别求出即可．

试题解析：（1）证明：如图①，△AOB是等腰直角三角形，AO=BO=1，

∴∠A=45°，∠AOB=90°，

直线BN∥OA，MN∥OB，

∴四边形OBNM为矩形，

∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°

而∠AMP=90°，∠A=∠APM=∠BPN=45°，

∴OM=BN=PN，

∵∠OPC=90°，

∴∠OPM+∠CPN=90°，

又∵∠OPM+∠POM=90°，

∴∠CPN=∠POM，

在△OPM和△PCN中

∴△OPM≌△PCN（ASA），

∴OP=PC，

（2）解：∵AM=PM=APsin45°=m，

∴NC=PM=m，∴BN=OM=PN=1﹣m；

∴BC=BN﹣NC=1﹣m﹣m=1﹣m，

S=S△OPB+S△PBC=BOMO+BCPN，

=m2﹣m+1（0≤m≤）；

（3）解：△PBC可能为等腰三角形，

①当点P与点A重合时，PC=BC=1，此时PM=0，

②如图②，当点C在OB下方，且PB=CB时，

有OM=BN=PN=1﹣m，

∴BC=PB=PN=﹣m，

∴NC=BN+BC=1﹣m+﹣m，

由（2）知：NC=PM=m，

∴1﹣m+﹣m=m，

∴m=1．

∴PM=m=；

∴使△PBC为等腰三角形时的PM的值为0或．