题目内容
（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．
证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，∵
| OE |
| DC |
| 1 |
| 2 |
| EF |
| FD |
| OE |
| DC |
| 1 |
| 2 |
| EF |
| ED |
| 1 |
| 3 |
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．
分析：（1）欲证点G是线段BC的一个三等分点，由图可知，只需证明
=
即可．由于矩形ABCD中，OB=OC，OE⊥BC于E，则E为BC的中点．易证OE为△BCD的中位线，则
=
．由OE∥CD，得出
=
=
，由比例的性质可知，
=
．再由FG∥DC，得出
=
=
，而BC=2EC，从而求出
=
；
（2）由（1）的画法，可知连接DG交OC于点H，作HI⊥BC于I，则点I是线段BC的一个四等分点．
| GC |
| BC |
| 1 |
| 3 |
| OE |
| DC |
| 1 |
| 2 |
| EF |
| FD |
| OE |
| DC |
| 1 |
| 2 |
| FD |
| ED |
| 2 |
| 3 |
| GC |
| EC |
| FD |
| ED |
| 2 |
| 3 |
| GC |
| BC |
| 1 |
| 3 |
（2）由（1）的画法，可知连接DG交OC于点H，作HI⊥BC于I，则点I是线段BC的一个四等分点．
解答：解：（1）在矩形ABCD中，OB=OC，OE⊥BC于E，
∴E为BC的中点，
又O为BD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴
=
．
∵OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，
∴△OEF∽△CDF．
∴
=
=
，
∴
=
，
=
．
又∵FG∥DC，
=
=
，
∴
=
=
=
．
∴点G是BC的一个三等分点；
（2）依题意画图如下：如图，点I即为所求．
∴E为BC的中点，
又O为BD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴
| OE |
| DC |
| 1 |
| 2 |
∵OE⊥BC，DC⊥BC，
∴OE∥DC，
∴△OEF∽△CDF．
∴
| EF |
| FD |
| OE |
| DC |
| 1 |
| 2 |
∴
| EF |
| ED |
| 1 |
| 3 |
| FD |
| ED |
| 2 |
| 3 |
又∵FG∥DC，
| GC |
| EC |
| FD |
| ED |
| 2 |
| 3 |
∴
| GC |
| BC |
| GC |
| 2EC |
| 2 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
∴点G是BC的一个三等分点；
（2）依题意画图如下：如图，点I即为所求．
点评：本题考查平行线分线段成比例定理，要根据平行找准对应关系．
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