题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求B的坐标;
(2)当点P运动到点(t,0)时,试用含t的式子表示点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于 ,若存在,请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可)
【答案】
(1)
解:如图1,
过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.
由已知得:BF=OE=2,
∴OF= =2 ,
∴点B的坐标是(2 ,2).
设直线AB的解析式是y=kx+b(k≠0),
则有 ,
∴ .
∴直线AB的解析式是y=﹣ x+4,
(2)
解:∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP.
∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.
∴∠DAP=∠BAO=60°.
∴△ADP是等边三角形.
如图2,
过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,
∴BG=BDcos60°=t× = .DG=BDsin60°= t.
∴OH=EG=2 + t,DH=2+ t.
∴点D的坐标为(2 + t,2+ t).
(3)
解:存在.
假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于 .
设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
①当t>0时,如答图2,BD=OP=t,DG= t,
∴DH=2+ t.
∵△OPD的面积等于 ,
∴ t(2+ t)= ,
∴t1= ,t2= (舍去).
∴点P1的坐标为( ,0).
②∵当D在x轴上时,如图3,
根据锐角三角函数求出BD=OP= ,
∴当﹣ <t≤0时,如答图1,BD=OP=﹣t,DG=﹣ t,
∴GH=BF=2﹣(﹣ t)=2+ t.
∵△OPD的面积等于 ,
∴﹣ t(2﹣ t)= ,
∴t1=﹣ ,t2=﹣
∴点P2的坐标为(﹣ ,0),点P3的坐标为(﹣ ,0).
③当t≤﹣ 时,BD=OP=﹣t,DG=﹣ t,
∴DH=﹣ t﹣2.
∵△OPD的面积等于 ,
∴ (﹣t)(﹣2﹣ t)= ,
∴t1= ,t2= (舍去).
∴点P4的坐标为( ,0).
综上所述,点P的坐标分别为P1( ,0),P2(﹣ ,0),P3(﹣ ,0),P4( ,0).
【解析】(1)过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b,把已知坐标代入可求解.(2)由△ABD由△AOP旋转得到,△ABD≌△AOP,AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等边三角形,利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用三角函数求出BG=BDcos60°,DG=BDsin60°.然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.(3)分三种情况进行讨论:①当P在x轴正半轴上时,即t>0时;②当P在x轴负半轴,但D在x轴上方时;即﹣ <t≤0时③当P在x轴负半轴,D在x轴下方时,即t≤﹣ 时.综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.