题目内容
【题目】如图1，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C
(1) 求抛物线的解析式
(2) 抛物线上一点D，满足S△DAC＝S△OAC，求点D的坐标
(3) 如图2，已知N(0，1)，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿x轴向上翻折，得到图T（虚线部分），点M为图象T的顶点．现将图象保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点，求图象T1的顶点横坐标的取值范围
【答案】（1）
；（2）D（
，
）或（
，
）；（3） 图象T1顶点横坐标的取值范围
.
【解析】试题分析：（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）分两种情况讨论：当D在直线AC的左侧时和当D在直线AC的右侧时，求得点D的坐标；
（3）两种极值情况求得m的值,两值之间范围即符合题意
解：（1）将A(1,0)，B(4，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋c解析式得：
，
解得：b=-5，c=4，
∴抛物线的解析式为：y=x2-5x+4；
（2）∵A（1,0），C（0,4），
∴直线AC的解析式为
，
当D在直线AC的左侧时，
∵
∴OD∥AC，
∴直线OD的解析式为
，
∴
方程组无解，
∴D不在直线AC的左侧
当D在直线AC的右侧时，在
轴上取点M（2,0），则
，过点M作直线DM∥AC交抛物线于点D，则直线DM的解析式为
，
∴
解得
，
，
∴D（，）或（，）
（3）解：设抛物线：y=x2-5x+4的顶点为G，
则点G(2.5，-2.25)关于轴对称点M的坐标为：M(2.5，2.25)，
又∵N（0，1）解得直线MN：
，,
∵图象T顶点在直线MN上,
∴设图象T1顶点为
，
如图，由点A（1，0）与M(2.5，2.25)的坐标关系，得到点A的对应点
,即
，
又BC：
，
当点K在BC上时, 
，
∴
，
∴
∵
∴点K在线段BC上,
设图象T1所在抛物线方程为：
，点L为直线BC与抛物线的交点，则点L的坐标满足下列两个方程：，
，
∴点L的横坐标是方程：
的解，
当图象T1与直线BC相切时有：
，
∴
，
∴
,
∵
,
∴点L在图象T1上,
∵
，
∴点L在段BC上
∴图象T1顶点横坐标的取值范围：.
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