题目内容
【题目】已知:AB是⊙O的直径,点P在线段AB的延长线上,BP=OB=2,点Q在⊙O上,连接PQ.
(1)如图①,线段PQ所在的直线与⊙O相切,求线段PQ的长
(2)如图②,线段PQ与⊙O还有一个公共点C,且PC=CQ,连接OQ,AC交于点D.
①判断OQ与AC的位置关系,并说明理由;
②求线段PQ的长.
【答案】
(1)
解:(1)如图①,连接OQ.
∵线段PQ所在的直线与⊙O相切,点Q在⊙O上,
∴OQ⊥OP.
又∵BP=OB=OQ=2,
∴PQ==
=
,即PQ=
.
(2)
解:OQ⊥AC.理由如下:
如图②,连接BC.
∵BP=OB,
∴点B是OP的中点,
又∵PC=CQ,
∴点C是PQ的中点,
∴BC是△PQO的中位线,
∴BC∥OQ.
又∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴OQ⊥AC.
如图②,PCPQ=PBPA,即PQ2=2×6,
解得PQ=.
【解析】(1)如图①,连接OQ.利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度.
(2)如图②,连接BC.利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ.根据圆周角定理推知BC⊥AC,所以,OQ⊥AC.
(3)利用割线定理来求PQ的长度即可.

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