题目内容

【题目】已知:AB是⊙O的直径,点P在线段AB的延长线上,BP=OB=2,点Q在⊙O上,连接PQ.
(1)如图①,线段PQ所在的直线与⊙O相切,求线段PQ的长

(2)如图②,线段PQ与⊙O还有一个公共点C,且PC=CQ,连接OQ,AC交于点D.
①判断OQ与AC的位置关系,并说明理由;
②求线段PQ的长.

【答案】
(1)

解:(1)如图①,连接OQ.

∵线段PQ所在的直线与⊙O相切,点Q在⊙O上,

∴OQ⊥OP.

又∵BP=OB=OQ=2,

∴PQ===,即PQ=.


(2)

解:OQ⊥AC.理由如下:

如图②,连接BC.

∵BP=OB,

∴点B是OP的中点,

又∵PC=CQ,

∴点C是PQ的中点,

∴BC是△PQO的中位线,

∴BC∥OQ.

又∵AB是直径,

∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,

∴OQ⊥AC.

如图②,PCPQ=PBPA,即PQ2=2×6,

解得PQ=


【解析】(1)如图①,连接OQ.利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度.
(2)如图②,连接BC.利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ.根据圆周角定理推知BC⊥AC,所以,OQ⊥AC.
(3)利用割线定理来求PQ的长度即可.

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