题目内容

【题目】抛物线y=ax2+bx+cx轴于A、B两点,交y轴于C点,其中﹣2<h<﹣1,﹣1<xB<0,下列结论①abc<0;(4a﹣b)(2a+b)<0;4a﹣c<0;④若OC=OB,则(a+1)(c+1)>0,正确的为(  )

A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③

【答案】C

【解析】分析:①由抛物线对称轴位置确定ab的符号,由抛物线与y轴的交点判断c0的关系,进而对所得结论进行判断;

②根据对称轴公式和-2<h<-1可得:4a-b<0,根据a<0,b<0可知:2a+b<0,可作判断;

③根据b>4a,得2b-8a>0①,当x=-2时,4a-2b+c>0②,两式相加可得结论;

④根据OB=OC可知:c是方程ax2+bx+c=0的一个根,代入后可得:ac+b+1=0,则ac=-b-c,将所求的式子去括号再将ac的式子代入可得结论.

详解:①∵抛物线开口向下,

抛物线对称轴位于y轴的左侧,则a、b同号,故ab>0,

抛物线与y轴交于负半轴,则c<0,故abc<0,

故①正确;

②∵抛物线开口方向向下,

a<0,

x=-=h,且-2<h<-1,

4a<b<2a,

4a-b<0,

又∵h<0,

-<1

2a+b<0,

(4a-b)(2a+b)>0,

故②错误;

③由②知:b>4a,

2b-8a>0

x=-2时,4a-2b+c>0

由①+②得:4a-8a+c>0,即4a-c<0.

故③正确;

④∵当x=-1时,a-b+c>0,

OC=OB,

∴当x=c时,y=0,即ac2+bc+c=0,

c≠0,

ac+b+1=0,

ac=-b-1,

则(a+1)(c+1)=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c>0,

故④正确;

所以本题正确的有:①③④

故选C.

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