题目内容

【题目】(12分)(1)如图1,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B),作MN⊥DM,垂足为M,且MN=DM.设OM=a,请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标_____(用含a的代数式表示);

(2)如果(1)的条件去掉“且MN=DM”,加上“交∠CBE的平分线与点N”,如图2,求证:MD=MN.如何突破这种定势,获得问题的解决,请你写出你的证明过程.

(3)如图3,请你继续探索:连接DN交BC于点F,连接FM,下列两个结论:①FM的长度不变;②MN平分∠FMB,请你指出正确的结论,并给出证明.

【答案】(1)N(2+a,a);(2)见解析;(3)见解析.

【解析】 (1)如图1中,作NE⊥OB于E,只要证明△DMO≌△MNE,即可解决问题.

(2)如图2中,在OD上取OH=OM,连接HM,只要证明△DHM≌△MBN即可.

(3)结论:MN平分∠FMB成立.如图3中,在BO延长线上取OA=CF,过M作MP⊥DN于P,因为∠NMB+∠CDF=45°,所以只要证明∠FMN+∠CDF=45°即可解决问题.

解:(1)解:如图1中,作NE⊥OB于E,

∵∠DMN=90°,

∴∠DMO+∠NME=90°,∠NME+∠MNE=90°,

∴∠DMO=∠MNE,

在△DMO和△MNE中,

∴△DMO≌△MNE,

∴ME=DO=2,NE=OM=a,

∴OE=OM+ME=2+a,

∴点N坐标(2+a,a),

故答案为N(2+a,a).

(2)证明:如图2中,在OD上取OH=OM,连接HM,

∵OD=OB,OH=OM,

∴HD=MB,∠OHM=∠OMH,

∴∠DHM=180°﹣45°=135°,

∵NB平分∠CBE,

∴∠NBE=45°,

∴∠NBM=180°﹣45°=135°,

∴∠DHM=∠NBM,

∵∠DMN=90°,

∴∠DMO+∠NMB=90°,

∵∠HDM+∠DMO=90°,

∴∠HDM=∠NMB,

在△DHM和△MBN中,

∴△DHM≌△MBN(ASA),

∴DM=MN.

(3)结论:MN平分∠FMB成立.

证明:如图3中,在BO延长线上取OA=CF,

在△AOD和△FCD中,

∴△DOA≌△DCF,

∴AD=DF,∠ADO=∠CDF,

∵∠MDN=45°,

∴∠CDF+∠ODM=45°,

∴∠ADO+∠ODM=45°,

∴∠ADM=∠FDM,

在△DMA和△DMF中,

∴△DMA≌△DMF,

∴∠DFM=∠DAM=∠DFC,

过M作MP⊥DN于P,则∠FMP=∠CDF,

由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°,

∴∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°,

∴∠NMB=∠NMF,即MN平分∠FMB.

“点睛”本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质,解题的关键是学会添加辅助线,构造全等三角形,记住一些基本图形,可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想,属于中考压轴题.

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