题目内容
【题目】(12分)(1)如图1,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B),作MN⊥DM,垂足为M,且MN=DM.设OM=a,请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标_____(用含a的代数式表示);
(2)如果(1)的条件去掉“且MN=DM”,加上“交∠CBE的平分线与点N”,如图2,求证:MD=MN.如何突破这种定势,获得问题的解决,请你写出你的证明过程.
(3)如图3,请你继续探索:连接DN交BC于点F,连接FM,下列两个结论:①FM的长度不变;②MN平分∠FMB,请你指出正确的结论,并给出证明.
【答案】(1)N(2+a,a);(2)见解析;(3)见解析.
【解析】 (1)如图1中,作NE⊥OB于E,只要证明△DMO≌△MNE,即可解决问题.
(2)如图2中,在OD上取OH=OM,连接HM,只要证明△DHM≌△MBN即可.
(3)结论:MN平分∠FMB成立.如图3中,在BO延长线上取OA=CF,过M作MP⊥DN于P,因为∠NMB+∠CDF=45°,所以只要证明∠FMN+∠CDF=45°即可解决问题.
解:(1)解:如图1中,作NE⊥OB于E,
∵∠DMN=90°,
∴∠DMO+∠NME=90°,∠NME+∠MNE=90°,
∴∠DMO=∠MNE,
在△DMO和△MNE中,
,
∴△DMO≌△MNE,
∴ME=DO=2,NE=OM=a,
∴OE=OM+ME=2+a,
∴点N坐标(2+a,a),
故答案为N(2+a,a).
(2)证明:如图2中,在OD上取OH=OM,连接HM,
∵OD=OB,OH=OM,
∴HD=MB,∠OHM=∠OMH,
∴∠DHM=180°﹣45°=135°,
∵NB平分∠CBE,
∴∠NBE=45°,
∴∠NBM=180°﹣45°=135°,
∴∠DHM=∠NBM,
∵∠DMN=90°,
∴∠DMO+∠NMB=90°,
∵∠HDM+∠DMO=90°,
∴∠HDM=∠NMB,
在△DHM和△MBN中,
,
∴△DHM≌△MBN(ASA),
∴DM=MN.
(3)结论:MN平分∠FMB成立.
证明:如图3中,在BO延长线上取OA=CF,
在△AOD和△FCD中,
,
∴△DOA≌△DCF,
∴AD=DF,∠ADO=∠CDF,
∵∠MDN=45°,
∴∠CDF+∠ODM=45°,
∴∠ADO+∠ODM=45°,
∴∠ADM=∠FDM,
在△DMA和△DMF中,
,
∴△DMA≌△DMF,
∴∠DFM=∠DAM=∠DFC,
过M作MP⊥DN于P,则∠FMP=∠CDF,
由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°,
∴∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°,
∴∠NMB=∠NMF,即MN平分∠FMB.
“点睛”本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质,解题的关键是学会添加辅助线,构造全等三角形,记住一些基本图形,可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想,属于中考压轴题.