Question

在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上．
（1）如图1，反比例函数y=

6

x

（x＞0）的图象与正比例函数y=

2

3

x的图象交于点A． BC边经过点A，CD边与反比例函数图象交于点E，四边形OACE的面积为6．
①直接写出点A的坐标；
②判断线段CE与DE的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，若反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与CD交点M，与BC交于点N，CM=nDM（n＞0），连接OM，ON，MN，设M点的横坐标为t（t＞0）．求：

S△CMN

S△OMN

（用含n的式子表示）．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：探究型

分析：（1）①把反比例函数与正比例函数的解析式组成方程组即可求出A点坐标；
②连接OC，根据反比例函数系数k的几何意义得出△ODE与△OAB的面积，再根据四边形OACE的面积为6求出矩形OBCD的面积，由此即可得出结论；
（2）过点M作ME⊥x轴于点E，由于点M、N是反比例函数y=

6

x

图象上的点，故可得出S_△OME=S_△
OBN，所以S_△OMN=S_矩形EBNM，设点M（t，

k

t

），则C（（n+1）t，

k

t

），E（t，0），B（（n+1）t，0），N（（n+1）t，

k

(n+1)t

），再根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）①∵点A是反比例函数y=

6

x

（x＞0）的图象与正比例函数y=

2

3

x的图象的交点，
∴

y= 6 x y= 2 3 x

，
解得

x=-3 y=-2

（舍去）或

x=3 y=2

∴A（3，2）；
②如图1，连接OC，
∵点A、E均是反比例函数y=

6

x

图象上的点，
∴S_△ODE=S_△OAB=3，
∵四边形OACE的面积为6，
∴S_矩形OBCD=S_△ODE+S_△OAB+S_{四边形OACE}=3+3+6=12，
∵四边形OBCD是矩形，
∴S_△OCD=

1

2

S_矩形OBCD=

1

2

×12=6，
∴S_△OED=S_△OCE，
∵两三角形的高相等，
∴CE=DE；

（2）如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，
∵点M、N是反比例函数y=

6

x

图象上的点，
∴S_△OME=S_△OBN，
∴S_△OMN=S_矩形EBNM，
设点M（t，

k

t

），则C（（n+1）t，

k

t

），E（t，0），B（（n+1）t，0），N（（n+1）t，

k

(n+1)t

），
∴S_△CMN=

1

2

CM•CN=

1

2

nt•（

k

t

-

k

(n+1)t

）=

1

2

nk（1-

1

n+1

）；
S_△OMN=S_矩形EBNM=

1

2

（ME+BN）•BE=

1

2

（

k

t

+

k

(n+1)t

）•nt=

1

2

nk（1+

1

n+1

），
∴

S△CMN

S△OMN

=

1 2 nk(1- 1 n+1 )

1 2 nk(1+ 1 n+1 )

=

n

n+2

．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题等相关知识，难度适中．