题目内容

【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且AOC=60°,点B的坐标是(0,8),点P从点C开始以每秒个单位长度的速度沿线段CB向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒3个单位长度的速度沿射线OA方向移动,点P运动到点B时,两点停止运动.直线PQOB于点D,运动时间为t秒.

(1)直接写出点A的坐标;

(2)求t为何值时,直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直;

(3)如果将题中的条件变为点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒a(1a3)单位,设运动时间为t(0<t8),其它条件不变.当a为何值时,以OQD为顶点的三角形与OAB相似?请给出你的结论,并加以证明.

【答案】(1)A(4,4).(2)t=2,t=8;(3)3.

【解析】

试题分析:(1)连接AC交OB于点M,根据菱形的性质,在RTAMO中,求出AM、OM即可.

(2)分两种情形如图1中,当PQOA时,过C作CHOA于H,如图2中,当PQAB时,过P作PNAB交射线OA于N,分别利用直角三角形30度性质列出方程即可解决.

(3)当a=1,a=3时,以O,Q,D为顶点的三角形与OAB相似,当a=1,ODQ∽△OBA,a=3时,ODQ∽△OAB分别根据相似三角形性质列出方程即可解决.

试题解析:(1)连接AC交OB于点M,

∵∠AOC=60°,四边形ABCO是菱形,

AC垂直平分OB,OM=OB=4AOM=30°

AM=4,

点D坐标为A(4,4).

(2)如图1中,当PQOA时,过C作CHOA于H,

PQCH,PCQH,

四边形PCHQ是平行四边形,

∵∠CHQ=90°

四边形PCHQ是矩形,

PC=QH=t,OQ=3t,OCH=30°,OH=2t=OC=4

t=2.

如图2中,当PQAB时,过P作PNAB交射线OA于N,

由菱形ABCO,PN=AB=8,

OQ=3t,CP=t,PQN=30°,NQ=2t=16,

t=8,

即当t=2,t=8时,直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直.

(3)当a=1,a=3时,以O,Q,D为顶点的三角形与OAB相似,

当a=1,ODQ∽△OBA,

证明:由ODQ∽△OBA,可得ODQ=OBA,此时PQAB,

四边形PCOQ为平行四边形,

CP=OQ,即at=t,(0<t8)

a=1时,ODQ∽△OBA,

a=3时,ODQ∽△OAB

当P与B重合时,D点也与B重合,此时t=8,

ODQ∽△OAB,得

OD=OB,

OB2=OAOQ,

82=8×8a

a=3,

a=3,ODQ∽△OAB.

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