题目内容
【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,点B的坐标是(0,8),点P从点C开始以每秒个单位长度的速度沿线段CB向点B移动,同时,点Q从点O开始以每秒3个单位长度的速度沿射线OA方向移动,点P运动到点B时,两点停止运动.直线PQ交OB于点D,运动时间为t秒.
(1)直接写出点A的坐标;
(2)求t为何值时,直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直;
(3)如果将题中的条件变为点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒a(1≤a≤3)单位,设运动时间为t(0<t≤8),其它条件不变.当a为何值时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似?请给出你的结论,并加以证明.
【答案】(1)A(4,4).(2)t=2,t=8;(3)3.
【解析】
试题分析:(1)连接AC交OB于点M,根据菱形的性质,在RT△AMO中,求出AM、OM即可.
(2)分两种情形①如图1中,当PQ⊥OA时,过C作CH⊥OA于H,②如图2中,当PQ⊥AB时,过P作PN∥AB交射线OA于N,分别利用直角三角形30度性质列出方程即可解决.
(3)当a=1,a=3时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似,①当a=1,△ODQ∽△OBA,②a=3时,△ODQ∽△OAB分别根据相似三角形性质列出方程即可解决.
试题解析:(1)连接AC交OB于点M,
∵∠AOC=60°,四边形ABCO是菱形,
∴AC垂直平分OB,OM=OB=4,∠AOM=30°,
∴AM=4,
∴点D坐标为A(4,4).
(2)①如图1中,当PQ⊥OA时,过C作CH⊥OA于H,
∵PQ∥CH,PC∥QH,
∴四边形PCHQ是平行四边形,
∵∠CHQ=90°,
∴四边形PCHQ是矩形,
∴PC=QH=t,OQ=3t,∠OCH=30°,OH=2t=OC=4,
∴t=2.
②如图2中,当PQ⊥AB时,过P作PN∥AB交射线OA于N,
由菱形ABCO得,PN=AB=8,
∴OQ=3t,CP=t,∠PQN=30°,NQ=2t=16,
∴t=8,
即当t=2,t=8时,直线PQ与菱形ABCO的边互相垂直.
(3)当a=1,a=3时,以O,Q,D为顶点的三角形与△OAB相似,
①当a=1,△ODQ∽△OBA,
证明:由△ODQ∽△OBA,可得∠ODQ=∠OBA,此时PQ∥AB,
∴四边形PCOQ为平行四边形,
∴CP=OQ,即at=t,(0<t≤8)
∴a=1时,△ODQ∽△OBA,
②a=3时,△ODQ∽△OAB
当P与B重合时,D点也与B重合,此时t=8,
由△ODQ∽△OAB,得
,
∵OD=OB,
∴OB2=OAOQ,
即(8)2=8×8a,
∴a=3,
∴a=3,△ODQ∽△OAB.