题目内容

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5．P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC=x，点P到AB的距离为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．

解：（1）根据勾股定理得BC=3．
用面积关系S_△ABC=S_△PBC+S_△APB，

即 $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ y=6，
y= $\text{[math]}$ （0＜x＜4）．

（2）当x=y，
则x=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
解得：x= $\text{[math]}$ ．
∴当0＜x＜ $\text{[math]}$ 时，圆P与AB所在直线相交；
当x= $\text{[math]}$ 时，圆P与AB所在直线相切；
当 $\text{[math]}$ ＜x＜4时，圆P与AB所在直线相离．
分析：（1）根据大直角三角形的面积=两个三角形的面积和进行推导；
（2）根据不同的位置关系应满足的数量关系进行分析讨论．
点评：能够根据不同的方法表示同一个图形的面积建立函数关系式；根据不同的位置关系应满足的数量关系列不等式求解．