Question

如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足.

（1）判断△AOB的形状.

（2）如图②，正比例函数的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长.

（3）如图③，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连结PD、PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明.

Answer 1

（1）等腰直角三角形 ∵    ∴ ∴ ∵∠AOB=90° ∴△AOB为等腰直角三角形； （2）∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90° ∴∠MAO=∠MOB ∵AM⊥OQ，BN⊥OQ ∴∠AMO=∠BNO=90° 在△MAO和△BON中 ∴△MAO≌△NOB ∴OM=BN，AM=ON，OM=BN ∴MN=ON-OM=AM-BN=5 ； （3）PO=PD且PO⊥PD 如图，延长DP到点C，使DP=PC，连结OP、OD、OC、BC 在△DEP和△CBP ∴△DEP≌△CBP ∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135° 在△OAD和△OBC ∴△OAD≌△OBC ∴OD=OC，∠AOD=∠COB ∴△DOC为等腰直角三角形 ∴PO=PD，且PO⊥PD.