题目内容
在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（10，0）．
（1）如图①，若直线AB∥OC，AB上有一动点P，当P点的坐标为
（2）如图②，若直线AB与OC不平行，则在过点A的直线y=-x+4上是否存在点P，
使∠OPC=90°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P使得∠OPC=90°，试求出此时y=kx+4中k的值是多少．
分析：（1）因为A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（10，0），（5，4），直线AB∥OC，P在直线AB上，所以P的纵坐标为4，又因PO=PC，所以P在OC的垂直平分线上，所以P的横坐标为5，即P（5，4）；
（2）因为∠OPC=90°，所以P在以OC为直径的圆上，作PD⊥OC于D，因为P在过点A的直线y=-x+4上，所以可设P（x，-x+4），利用射影定理可得到PD2=OD•CD，即（-x+4）2=x（10-x），解之即可求出点P的坐标；
（3）因为点P在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P使得∠OPC=90°，所以需分两种情况讨论：
①当直线过二、四象限时，B、C重合，直线过点（10，0），把该点的坐标代入解析式即可求出k的值；
②当直线过一、三象限时，此时直线与圆相切，设圆心为D，则DP=5，DP⊥BP，即∠P=∠AOB=90°，可求出k的值．
（2）因为∠OPC=90°，所以P在以OC为直径的圆上，作PD⊥OC于D，因为P在过点A的直线y=-x+4上，所以可设P（x，-x+4），利用射影定理可得到PD2=OD•CD，即（-x+4）2=x（10-x），解之即可求出点P的坐标；
（3）因为点P在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P使得∠OPC=90°，所以需分两种情况讨论：
①当直线过二、四象限时，B、C重合，直线过点（10，0），把该点的坐标代入解析式即可求出k的值；
②当直线过一、三象限时，此时直线与圆相切，设圆心为D，则DP=5，DP⊥BP，即∠P=∠AOB=90°，可求出k的值．
解答：
解：（1）（5，4）．
（2）如图所示，
PD⊥OC于D，设P（x，-x+4），
PD2=OD•CD，（-x+4）2=x（10-x），
解得：x=1或8，
∴P（1，3）或P（8，-4）．
（3）分两种情况：
①如图Ⅰ，
则0=k×10+4，则k=-
；
②如图Ⅱ，
易证明△AOB∽△DPB，
则
=
，得x=-
B（-
，0），k=
，
∴k=-
或
．
解：（1）（5，4）．（2）如图所示，
PD⊥OC于D，设P（x，-x+4），
PD2=OD•CD，（-x+4）2=x（10-x），
解得：x=1或8，
∴P（1，3）或P（8，-4）．
（3）分两种情况：
①如图Ⅰ，
则0=k×10+4，则k=-
| 2 |
| 5 |
②如图Ⅱ，
易证明△AOB∽△DPB，
则
| 4 |
| 5 |
| ||
| -x+5 |
| 160 |
| 9 |
| 160 |
| 9 |
| 9 |
| 40 |
∴k=-
| 2 |
| 5 |
| 9 |
| 40 |
点评：解决本题这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
练习册系列答案
相关题目
坐标原点．A、B两点的横坐标分别是方程x2-4x-12=0的两根，且cos∠DAB=
18、在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转的角度为θ，再以原点为位似中心，相似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换．例如，把图中的△ABC先绕着原点O顺时针旋转的角度为90°，再以原点为位似中心，相似比为2得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，2】变换．