题目内容

18、在平面直角坐标系中,A点坐标为(0,4),C点坐标为(10,0).
(1)如图①,若直线AB∥OC,AB上有一动点P,当P点的坐标为
(5,4)
时,有PO=PC;
(2)如图②,若直线AB与OC不平行,在过点A的直线y=-x+4上是否存在点P,使∠OPC=90°,若有这样的点P,求出它的坐标.若没有,请简要说明理由.
分析:(1)如图,根据等腰三角形的三线合一,可得出OD=DC,又OA=PD,即可得出;
(2)如图,设P(x,-x+4),连接OP,PC,过P作PE⊥OC于E,根据勾股定理,OP2+PC2=OC2,表示并代入数值,解答出即可求出点P的坐标;
解答:解:(1)如图,作PD⊥OC,
∵OP=PC,
∴OD=DC(等腰三角形三线合一),
∴OD=5,DP=4,
∴点P坐标为(5,4).
故答案为:(5,4).

(2)如图,设P(x,-x+4),连接OP,PC,过P作PE⊥OC于E,
∵OP2=x2+(-x+4)2,PC2=(-x+4)2+(10-x)2,OP2+PC2=OC2
∴x2+(-x+4)2+(-x+4)2+(10-x)2=102
∴x2-9x+8=0,
解得,x1=1,x2=8,
∴-1+4=3,-8+4=-4,
∴点P坐标位(1,3)或(8,-4).
点评:本题主要考查了等腰三角形的三线合一和勾股定理,熟记等腰三角形的三线合一,并能熟练应用勾股定理,是解答本题的关键.
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