Question

如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG．
（1）证明：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积；
（3）试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时，BG=CG，请写出你的探究过程．

Answer 1

解：（1）根据翻折的方法可得：EF=EC，∠FEG=∠CEG，
在△EFG和△ECG中，
∵，
∴△EFG≌△ECG（SAS），
∴FG=GC，
∵线段FG是由EF绕F旋转得到的，
∴EF=FG，
∴EF=EC=FG=GC，
∴四边形FGCE是菱形；

（2）连接FC，交GE于O点，
根据折叠可得：BF=BC=10，
∵AB=8，
在Rt△ABF中，
根据勾股定理得：AF==6，
∴FD=AD-AF=10-6=4，
设EC=x，则DE=8-x，EF=x，
在Rt△FDE中：FD²+DE²=EF²，即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
在Rt△FDC中：FD²+DC²=CF²，
则：4²+8²=FC²，
解得：FC=4，
∵四边形FGCE是菱形，
∴FO=FC=2，EO=GE，GE⊥FC，
在Rt△FOE中：FO²+OE²=EF²，即（2）²+EO²=5²，
解得：EO=，
∴GE=2EO=2，
则S_菱形CEFG=×FC×GE=×4×2=20；

（3）当=时，BG=CG，理由为：
由折叠可得：BF=BC，∠FBE=∠CBE，
∵在Rt△ABF中，=，
∴cos∠ABF=，即∠ABF=30°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=60°，EC=BE，
∴∠FBE=∠CBE=30°，
∵∠BCE=90°，
∴∠BEC=60°，
又∵GC=CE，
∴△GCE为等边三角形，
∴GE=CG=CE=BE，
∴G为BE的中点，
则CG=BG=BE．
分析：（1）由折叠得到EF=CE，∠FEG=∠CEG，再加上公共边GE，利用SAS可得出三角形EFG与三角形CEG全等，利用全等三角形的对应边相等可得出GF=CG，再由FG是线段EF旋转得到的，故FG=EF，等量代换可得出四边形EFGC四条边相等，进而确定出此四边形为菱形；
（2）连接FC，与GE交于点O，由折叠得到BF=BC=10，在直角三角形ABF中，由AB及BF的长，利用勾股定理求出AF=6，再由矩形的对边相等得到AD=10，用AD-AF求出FD的长，设DE=x，由EF=CE，用CD-DE表示出CE，即为EF的长，在直角三角形EDF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为ED的长，在直角三角形FDC中，由DC及DF的长，利用勾股定理求出CF的长，根据四边形EFGC为菱形，对角线互相平分，得到OF为CF的一半，求出OF的长，再由菱形的对角线互相垂直，得到三角形EOF为直角三角形，由EF及OF的长，求出OE的长，根据GE=2OE，得到GE的长，最后利用菱形的对角线乘积的一半即可求出菱形EFGC的面积；
（3）当线段AB与BC满足=时，BG=CG，理由为：在直角三角形ABF中，利用特殊角的三角函数值及锐角三角函数定义求出∠ABF的度数，进而确定出∠FBC的度数，再由折叠得到∠FBE=∠EBC，求出∠EBC为30°，可得出∠BEC为60°，再由GC=CE得到三角形CGE为等边三角形，再由30°所对的直角边EC等于斜边BE的一半，得到GE为BE的一半，即G为BE的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CG与BG相等都为BE的一半．
点评：此题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠变换及旋转的性质，矩形的性质，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．