题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=
与抛物线y=﹣
x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为m，点P的横坐标为x，当△PDE周长m最大时，求点P的坐标，并求出m的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG（逆时针方向作正方形APFG）．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①当x=﹣3时，最大值为15②存在点P1（
，2），P2（
，2），P3（
，）
【解析】试题分析：（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）①利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答；②分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角边”证明△APH和△GAO全等，根据全等三角形对应边相等可得PH=AO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，根据正方形的性质可得AP=FP，∠APF=90°，再根据同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角边角”证明△APM和△FPN全等，根据全等三角形对应边相等可得PM=PN，从而得到点P的横坐标与纵坐标相等，再根据二次函数的解析式求解即可．
试题解析：
（1）令y=0，则
x﹣
=0，解得x=2，
x=﹣8时，y=×（﹣8）﹣=﹣
，
∴点A（2，0），B（﹣8，﹣），
把点A、B代入抛物线得，
，
解得
，
所以，该抛物线的解析式
；
（2）①∵点P在抛物线上，点D在直线上，
∴PD=﹣
x2﹣
x+
﹣（x﹣
）=﹣
x2﹣x+4，
∵PE⊥AB，
∴∠DPE+∠PDE=90°，
又∵PD⊥x轴，
∴∠BAO+∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠BAO，
∵直线解析式k=
，
∴sin∠BAO=
，cos∠BAO=
，
∴PE=PDcos∠DPE=PD，
DE=PDsin∠DPE=PD，
∴△PDE的周长为m=PD+PD+PD=
PD=（﹣
x2﹣
x+4）=﹣
x2﹣
x+
，
即m=﹣x2﹣x+；
∵m=﹣
（x2+6x+9）+15，
∴当x=﹣3时，最大值为15；
②∵点A（2，0），
∴AO=2，
分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，
在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，
∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，
∴∠PAH=∠AGO，
在△APH和△GAO中，
，
∴△APH≌△GAO（AAS），
∴PH=AO=2，
∴点P的纵坐标为2，
∴﹣
x2﹣
x+
=2，
整理得，x2+3x﹣2=0，
解得x=
，
∴点P1（
，2），P2（
，2）；
（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，
在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，
∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，
∴∠APM=∠FPN，
在△APM和△FPN中，
，
∴△APM≌△FPN（AAS），
∴PM=PN，
∴点P的横坐标与纵坐标相等，
∴﹣
x2﹣
x+
=x，
整理得，x2+7x﹣10=0，
解得x1=
，x2=
（舍去），
∴点P3（，
）
综上所述，存在点P1（
，2），P2（
，2），P3（
，）．
