题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：
；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
【答案】详见解析
【解析】
（1）由相似三角形，列出比例关系式，即可证明．
（2）首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积．
（3）本问是运动型问题，弄清矩形EFPQ的运动过程：
当0≤t≤2时，如答图①所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形；
当2＜t≤4时，如答图②所示，此时重叠部分是一个三角形．
解：（1）证明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC．
∴△AHF∽△ADC，∴
．
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴
.
∴
．
（2）∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1．
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴
．
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴
．
∴
，即
，∴EH=4HF．
已知EF=x，则EH=
．
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣．
，
∴当x=
时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．
（3）由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为，宽为
．
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示，
设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H1，D1，此时DD1=t，H1D1=2，
∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t，HH1=H1D1﹣HD1=t，AH1=AH﹣HH1=2﹣t．
∵KN∥EF，∴
，即
．
解得
．
．
（II）当2＜t≤4时，如答图②所示，
设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD交于点D2．此时DD2=t，AD2=AD﹣DD2=4﹣t．
∵KN∥EF，∴
，即
．
解得
．
．
综上所述，S与t的函数关系式为：
．
