题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上,AD交EF于点H.
(1)求证:;
(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积;
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
【答案】详见解析
【解析】
(1)由相似三角形,列出比例关系式,即可证明.
(2)首先求出矩形EFPQ面积的表达式,然后利用二次函数求其最大面积.
(3)本问是运动型问题,弄清矩形EFPQ的运动过程:
当0≤t≤2时,如答图①所示,此时重叠部分是一个矩形和一个梯形;
当2<t≤4时,如答图②所示,此时重叠部分是一个三角形.
解:(1)证明:∵矩形EFPQ,∴EF∥BC.
∴△AHF∽△ADC,∴.
∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴.
∴.
(2)∵∠B=45°,∴BD=AD=4,∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1.
∵EF∥BC,∴△AEH∽△ABD,∴.
∵EF∥BC,∴△AFH∽△ACD,∴.
∴,即
,∴EH=4HF.
已知EF=x,则EH=.
∵∠B=45°,∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣.
,
∴当x=时,矩形EFPQ的面积最大,最大面积为5.
(3)由(2)可知,当矩形EFPQ的面积最大时,矩形的长为,宽为
.
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中:
(I)当0≤t≤2时,如答图①所示,
设矩形与AB、AC分别交于点K、N,与AD分别交于点H1,D1,此时DD1=t,H1D1=2,
∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t,HH1=H1D1﹣HD1=t,AH1=AH﹣HH1=2﹣t.
∵KN∥EF,∴,即
.
解得.
.
(II)当2<t≤4时,如答图②所示,
设矩形与AB、AC分别交于点K、N,与AD交于点D2.此时DD2=t,AD2=AD﹣DD2=4﹣t.
∵KN∥EF,∴,即
.
解得.
.
综上所述,S与t的函数关系式为:.
