题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线 $数学公式$ 与x，y轴分别交于A、B两点，M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AM的解析式；
（3）设直线l：x=t（-4＜t＜6）与直线AM的交点为P，与过A、B、C三点的抛物线交于点Q，求PQ的最大值．

解：（1）当X=0时，y=8；当y=0时，x=6
∴A（6，0），B（0，8）
∴AO=6，BO=8
∵AB²=AO²+BO²
∴AB=10，
依题意得：AC=AB，MC=MB
∴C（-4，0）

（2）在△MOC中，设OM=a，则MC=OB-MO=8-a
∴OC²=MC²-MO²即16=（8-a）²-a²
∴a=3，M（0，3）
设直线MA的解析式为y=kx+b
∴ $\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$
∴直线MA的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+3；

（3）设经过A（6，0），B（0，8），C（-4，0）的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c
∴36a+6b+c=0，
0=16a-4a+c，
8=c
∴a=- $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，c=8∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+8
∴直线x=t与直线AM的交点P的坐标：P（t，- $\text{[math]}$ t+3），与抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+8的交点坐标Q（t，- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+8）
∴PQ=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+8-（- $\text{[math]}$ t+3）
=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t+5=- $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$
∴当t= $\text{[math]}$ 时，PQ的最大值为 $\text{[math]}$
分析：由题知，AB沿AM翻转到AC，可通过折叠的性质推出，线段AC=AB，从而求出点C坐标，结合三角形勾股定理和抛物线的解析式，求解出PQ的最大值．
点评：本题主要考查翻转后图形的性质，和抛物线与直线联系，能够很好的考查学生关于此类问题的基本功，需要考生平时细心做题．