题目内容
如图,在平面直角坐标系中,直线
与x,y轴分别交于A、B两点,M是OB上
一点,将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点C.
(1)求点C的坐标;
(2)求直线AM的解析式;
(3)设直线l:x=t(-4<t<6)与直线AM的交点为P,与过A、B、C三点的抛物线交于点Q,求PQ的最大值.
解:(1)当X=0时,y=8;当y=0时,x=6
∴A(6,0),B(0,8)
∴AO=6,BO=8
∵AB2=AO2+BO2
∴AB=10,
依题意得:AC=AB,MC=MB
∴C(-4,0)
(2)在△MOC中,设OM=a,则MC=OB-MO=8-a
∴OC2=MC2-MO2即16=(8-a)2-a2
∴a=3,M(0,3)
设直线MA的解析式为y=kx+b
∴
解得:
∴直线MA的解析式为:y=-
x+3;
(3)设经过A(6,0),B(0,8),C(-4,0)的抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c
∴36a+6b+c=0,
0=16a-4a+c,
8=c
∴a=-
,b=
,c=8∴y=-
x2+
x+8
∴直线x=t与直线AM的交点P的坐标:P(t,-
t+3),与抛物线y=-
x2+
x+8的交点坐标Q(t,-
t2+
t+8)
∴PQ=-
t2+
t+8-(-
t+3)
=-
t2+
t+5=-
(t-
)2+
∴当t=
时,PQ的最大值为
分析:由题知,AB沿AM翻转到AC,可通过折叠的性质推出,线段AC=AB,从而求出点C坐标,结合三角形勾股定理和抛物线的解析式,求解出PQ的最大值.
点评:本题主要考查翻转后图形的性质,和抛物线与直线联系,能够很好的考查学生关于此类问题的基本功,需要考生平时细心做题.
∴A(6,0),B(0,8)
∴AO=6,BO=8
∵AB2=AO2+BO2
∴AB=10,
依题意得:AC=AB,MC=MB
∴C(-4,0)
(2)在△MOC中,设OM=a,则MC=OB-MO=8-a
∴OC2=MC2-MO2即16=(8-a)2-a2
∴a=3,M(0,3)
设直线MA的解析式为y=kx+b
∴


∴直线MA的解析式为:y=-

(3)设经过A(6,0),B(0,8),C(-4,0)的抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c
∴36a+6b+c=0,
0=16a-4a+c,
8=c
∴a=-




∴直线x=t与直线AM的交点P的坐标:P(t,-





∴PQ=-



=-





∴当t=


分析:由题知,AB沿AM翻转到AC,可通过折叠的性质推出,线段AC=AB,从而求出点C坐标,结合三角形勾股定理和抛物线的解析式,求解出PQ的最大值.
点评:本题主要考查翻转后图形的性质,和抛物线与直线联系,能够很好的考查学生关于此类问题的基本功,需要考生平时细心做题.

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