题目内容

【题目】如图,AB⊙O的弦,D为半径OA的中点,过DCD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且BC⊙O的切线.

(1)求证:CE=CB;

(2)连接AF,BF,求∠ABF的正弦值;

(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.

【答案】(1)详见解析;(2)∠ABF的正弦值是;(3)⊙O的半径是

【解析】

(1)连接OB,由圆的半径相等和切线的性质可得∠AED=CBE,即可证明CE=CB

(2)连接OFAFBF,可证OAF是等边三角形,再利用圆周角定理可得∠ABF=30°,即可得出结论;

(3)过点CCGBE于点G,由CE=CB,可得EG=BE=5,再由RtADERtCGE和勾股定理即可得出结论.

(1)证明:连接OB如图,

OA=OB

∴∠DAE=OBA

BC切⊙OB

∴∠OBC=90°,

∴∠OBA+CBE=90°,

DCOA

∴∠ADE=90°,

∴∠DAE+AED=90°,

∴∠AED=CBE=CEB

CE=CB

(2)解:连接OFAFBF如图,

DA=DOCDOA

AF=OF

OA=OF

∴△OAF是等边三角形,

∴∠AOF=60°,

∴∠ABF=AOF=30°,

即∠ABF的正弦值是

(3)过点CCGBE于点G,由CE=CB如图

EG=BE=5,
RtADERtCGE
sinECG=sinA=


又∵CD=15,CE=13,
DE=2,
RtADERtCGE


,∴⊙O的半径为

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