题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且BC是⊙O的切线.
(1)求证:CE=CB;
(2)连接AF,BF,求∠ABF的正弦值;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.
【答案】(1)详见解析;(2)∠ABF的正弦值是;(3)⊙O的半径是.
【解析】
(1)连接OB,由圆的半径相等和切线的性质可得∠AED=∠CBE,即可证明CE=CB;
(2)连接OF,AF,BF,可证△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理可得∠ABF=30°,即可得出结论;
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,可得EG=BE=5,再由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理即可得出结论.
(1)证明:连接OB,如图,
∵OA=OB,
∴∠DAE=∠OBA,
∵BC切⊙O于B,
∴∠OBC=90°,
∴∠OBA+∠CBE=90°,
∵DC⊥OA,
∴∠ADE=90°,
∴∠DAE+∠AED=90°,
∴∠AED=∠CBE=∠CEB,
∴CE=CB;
(2)解:连接OF,AF,BF,如图,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴AF=OF,
∵OA=OF,
∴△OAF是等边三角形,
∴∠AOF=60°,
∴∠ABF=∠AOF=30°,
即∠ABF的正弦值是;
(3)过点C作CG⊥BE于点G,由CE=CB,如图
∴EG=BE=5,
又∵Rt△ADE∽Rt△CGE,
∴sin∠ECG=sin∠A=,
∴,
∴,
又∵CD=15,CE=13,
∴DE=2,
∵Rt△ADE∽Rt△CGE,
∴,
∴,∴⊙O的半径为.