Question

已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大，最大面积是多少？
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）判断出△BDE和△DEF的形状，利用60°的正弦值用DF表示出DC，进而得到BD，DE，利用三角形的面积公式求得函数关系式．
（2）由相似得到△DEF是含30°的直角三角形，可利用所给的2个特殊的直角三角形都用BD表示出DF的长度，然后即可求得BD长．

解答：解：（1）∵△ABC是正三角形，且ED∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，
∴CD=DF÷sin60°=

2 3

3

x．
∠EDF=90°，
BD=BC-CD=ED=4-

2 3

3

x．
y=DF×ED÷2=

1

2

x（4-

2 3

3

x）=-

3

3

x²+2x，
∵D在BC上，
∴CD＜4，
当CD=4时，CF=2，DF=2

3

，
DF≤2

3

（等于2

3

时，D和B重合）
∴自变量x的取值范围0≤x≤2

3

．

（2）∵y=-

3

3

x²+2x，
=-

3

3

（x-

3

）²+

3

，
∴当x=

3

，△EDF的面积最大．
最大面积是=

3

．

（3）当△DCF∽△EFD，
∴∠FED=∠FDC=30°．
∴DF=

3

3

DE=

3

3

BD．
∵DC=4-BD，∠C=60°，
∴DF=

3

2

CD=

4 3 - 3 BD

2

，
∴

3

3

BD=

4 3 - 3 BD

2

．
解得：BD=2.4．
当△DCF∽△FED，
同理可得：BD=

4

3

，
∴BD=

4

3

或2.4．

点评：考查特殊三角形的判断以及特殊三角函数值的充分运用．