Question

探索研究
已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与⊙P的弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．点A到x轴的距离为h，以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E．
（1）填空：B的坐标为

（m，-h）

，C的坐标为

（m，h-10）

，D的坐标为

（0，2h-10）

；（可含m、h）
（2）当m=4时，
①求此抛物线的函数关系式并写出点E的坐标；
②点Q在y轴上，且S_△CEQ=S_△CEP，求Q点坐标．
（3）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可连接OP，PM，设AC与OM交于N，那么在直角三角形OPN中，ON=m，因此AN=BN=h，CN=AC-AN=10-h，所以B，C的坐标分别为（m，-h），（m，h-10），
同理过P作OD的垂线，根据垂径定理即可得出OD=2PN=5-h，因此D点的坐标为（0，2h-10）；
（2）①可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将D点的坐标代入即可求出抛物线的解析式．根据圆和抛物线的对称性可知：E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称，因此根据D的坐标即可求出E点的坐标．
②由①可知点E的坐标为（8，-6），所以可求出过CE的直线解析式，进而求出直线和x轴的交点坐标R，当S_△CEQ=S_△CEP则QR=PC，则可求出Q点坐标；
（3）如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直平分，如果设BC，DE的交点为F，那么BF=CF，可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标，进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．

解答：解：（1）连接OP，PM，设AC与OM交于N，
∵⊙P的半径为5，
∴AC=10，
∵点M（2m，0），
∴ON=MN=m，
∵点A到x轴的距离为h，
∴CN=AC-AN=10-h，
∴B（m，-h），C（m，h-10），
同理过P作OD的垂线，根据垂径定理即可得出OD=2PN=5-h，因此D点的坐标为（0，2h-10）
∴D（0，2h-10），
故答案为：（m，-h），（m，h-10），（0，2h-10）；
（2）①设抛物线的解析式为y=a（x-4）²-2，已知抛物线过D点，
因此-6=a（x-4）²-2，
解得a=-

1

4

，
∴抛物线的函数关系式为：y=-

1

4

(x-4)2-2，
根据对称可知：E（8，-6）；
②当m=4时，则C（4，-8），由①可知E的坐标为（8，-6），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
则

-8=4k+b -6=8k+b

，
解得：

k= 1 2 b=-10

∴直线CE：y=

1

2

x-10，
∴直线CE与y轴交于点R（0，-10），
当S_△CEQ=S_△CEP时，则QR=PC，
∴Q（0，-5）或Q（0，-15）；
（3）假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分，设DE与BC相交于点F，于是BF=CF．
∴-h-2h+10=2h-10-h+10，即h=

5

2

，
∴AB=5                     
∴B、P两点重合，
∴m=

52-( 5 2

)2=

5

2

3

．：

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、垂径定理、勾股定理、菱形的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．