Question

已知：⊙O的直径为3，线段AC=4，直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M．

（1）求证：点P是线段AC的中点；
（2）求sin∠PMC的值．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OM，

∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，
∴PM=PA，OM⊥BC，BA⊥AC。
∴∠OMP=90°，∠BAC=90°。
∴∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°。
∵OB=OM，∴∠2=∠B。∴∠1=∠C。∴PC=PM。
又∵直线AC和PM分别与⊙O相切于点A，M，
∴PA=PM。∴PA=PC。
∴点P是线段AC的中点。
（2）在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∴。
∴。
由（1）∠PMC=∠C，∴sin∠PMC= 。

试题分析：（1）连接OM，根据切线的性质得OM⊥BC，BA⊥AC，根据切线长定理得PM=PA，则∠1+∠2=90°，∠B+∠C=90°，而∠2=∠B，所以∠1=∠C，于是得到PC=PM，则PA=PC。
（2）由于∠PMC=∠C，在Rt△ABC中，先根据勾股定理计算出BC=5，然后根据正弦的定义得到，于是得到sin∠PMC的值。