题目内容
如图所示以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE 。
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形。
（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形。
解：（1）连接OD与BD
∵△BDC是Rt△，且E为BC中点
∴∠EDB=∠EBD
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°
∴∠EDB+∠ODB=90°
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠EDO=∠B=90°
若要AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点
又∵BD⊥AC
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠CAB=45°。
∵△BDC是Rt△，且E为BC中点
∴∠EDB=∠EBD
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°
∴∠EDB+∠ODB=90°
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠EDO=∠B=90°
若要AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点
又∵BD⊥AC
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠CAB=45°。
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