Question

如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C(0，4)，过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连结AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连结PB、BA.若四边形ABPQ为梯形，则

（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是      ；
（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是      .

Answer 1

（1）；（2）0或

试题分析：首先根据题意画出符合题意的图形，
（1）当AB为梯形的底时，PQ∥AB，可得Q在CP上，由△APQ是等边三角形，CP∥x轴，即可求得答案；
（2）当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，易得四边形ABPC是平行四边形，即可求得CP的长，继而可求得点P的横坐标．
（1）如图，当AB为梯形的底时，PQ∥AB，

∴Q在CP上，
∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，
∴AC垂直平分PQ，
∵A（0，2），C（0，4），
∴AC=2，

∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；
（2）如图，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，

∴Q在y轴上，
∴BP∥y轴，
∵CP∥x轴，
∴四边形ABPC是平行四边形，
∴CP=AB=
如图3，当C与P重合时，

∵A（0，2）、B（，2）

∴∠APQ=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠ACB=∠PAQ，
∴AQ∥BP，
∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为腰的梯形，
此时点P的横坐标为0；
∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：0或.
点评：此题难度适中，解题的关键是根据题意画出符合要求的图形，然后利用数形结合思想求解．