题目内容

【题目】如图,在边长为正方形中,点是对角线的中点,是线段上一动点(不包括两个端点),连接.

1)如图1,过点于点,连接于点.

①求证:;

②设,求的函数关系式,并写出自变量的取值范围.

2)在如图2中,请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形.

【答案】(1)①见解析;②;(2)见解析

【解析】

1)①连接DE,如图1,先用SAS证明△CBE≌△CDE,得EB=ED,∠CBE=1,再用四边形的内角和可证明∠EBC=2,从而可得∠1=2,进一步即可证得结论;

②将△BAE绕点B顺时针旋转90°,点E落在点P处,如图2,用SAS可证△PBG≌△EBG,所以PG=EG=2xy,在直角三角形PCG中,根据勾股定理整理即得yx的函数关系式,再根据题意写出x的取值范围即可.

2)由(1)题已得EB=ED,根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可,考虑到只有直尺,可延长AD于点M,再连接MO并延长交BC于点N,再连接DNAC于点Q,问题即得解决.

1)①证明:如图1,连接DE,∵四边形ABCD是正方形,

CB=CD,∠BCE=DCE=45°

又∵CE=CE,∴△CBE≌△CDESAS),

EB=ED,∠CBE=1

∵∠BEC=90°,∠BCF=90°,

∴∠EBC+EFC=180°,

∵∠EFC+2=180°,

∴∠EBC=2

∴∠1=2.

ED=EF

BE=EF.

②解:∵正方形ABCD的边长为,∴对角线AC=2.

将△BAE绕点B顺时针旋转90°,点A与点C重合,点E落在点P处,如图2

则△BAE≌△BCP

BE=BPAE=CP=x,∠BAE=BCP=45°,∠EBP=90°

由①可得,∠EBF=45°,∴∠PBG=45°=EBG

在△PBG与△EBG中,

∴△PBG≌△EBGSAS.

PG=EG=2xy

∵∠PCG=GCB+BCP=45°+45°=90°

∴在RtPCG中,由,得

化简,得.

2)如图3,作法如下:

延长AD于点M

②连接MO并延长交BC于点N

连接DNAC于点Q

④连接DEBQ

则四边形BEDQ为菱形.

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