题目内容
【题目】如图,在边长为正方形
中,点
是对角线
的中点,
是线段
上一动点(不包括两个端点),连接
.
(1)如图1,过点作
交
于点
,连接
交
于点
.
①求证:;
②设,
,求
与
的函数关系式,并写出自变量
的取值范围.
(2)在如图2中,请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形.
【答案】(1)①见解析;②;(2)见解析
【解析】
(1)①连接DE,如图1,先用SAS证明△CBE≌△CDE,得EB=ED,∠CBE=∠1,再用四边形的内角和可证明∠EBC=∠2,从而可得∠1=∠2,进一步即可证得结论;
②将△BAE绕点B顺时针旋转90°,点E落在点P处,如图2,用SAS可证△PBG≌△EBG,所以PG=EG=2-x-y,在直角三角形PCG中,根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式,再根据题意写出x的取值范围即可.
(2)由(1)题已得EB=ED,根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可,考虑到只有直尺,可延长交AD于点M,再连接MO并延长交BC于点N,再连接DN交AC于点Q,问题即得解决.
(1)①证明:如图1,连接DE,∵四边形ABCD是正方形,
∴CB=CD,∠BCE=∠DCE=45°,
又∵CE=CE,∴△CBE≌△CDE(SAS),
∴EB=ED,∠CBE=∠1,
∵∠BEC=90°,∠BCF=90°,
∴∠EBC+∠EFC=180°,
∵∠EFC+∠2=180°,
∴∠EBC=∠2,
∴∠1=∠2.
∴ED=EF,
∴BE=EF.
②解:∵正方形ABCD的边长为,∴对角线AC=2.
将△BAE绕点B顺时针旋转90°,点A与点C重合,点E落在点P处,如图2,
则△BAE≌△BCP,
∴BE=BP,AE=CP=x,∠BAE=∠BCP=45°,∠EBP=90°,
由①可得,∠EBF=45°,∴∠PBG=45°=∠EBG,
在△PBG与△EBG中,,
∴△PBG≌△EBG(SAS).
∴PG=EG=2-x-y,
∵∠PCG=∠GCB+∠BCP=45°+45°=90°,
∴在Rt△PCG中,由,得
,
化简,得.
(2)如图3,作法如下:
①延长交AD于点M,
②连接MO并延长交BC于点N,
③连接DN交AC于点Q,
④连接DE、BQ,
则四边形BEDQ为菱形.

【题目】甲正在阅读《三国演义》,每天所读页数相同,当他读完第84页时,乙从头开始阅读同一本书籍,每天所读页数相同;下列表格记录了甲乙两人同读《三国演义》的进度.例如:第五天结束时,两人已读页数之和为424,此时甲比乙多读了24页;(注:已读页数中已计入了甲先读完的84页)
同读天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
已读页数之和 | 152 | 220 | a | b | 424 |
已读页数之差 | 72 | 60 | 48 | 36 | 24 |
(1)请直接写出表格中a、b的值;
(2)列方程求解:甲、乙两人每天各读书多少页?
(3)若这本书共有520页,从第6天起,甲每天比原来多读n页,乙每天所读页数不变,这样到第11天结束时,甲、乙两人已读页数相同,求n的值.
【题目】某校七年级为了解学生课堂发言情况,随机抽取该年级部分学生,对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计,其结果如下,并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图,请结合图中相关数据回答下列问题:
(1)直接写出随机抽取学生的人数为 人;
(2)直接补全频数直方图和扇形统计图;
(3)该校七年级共有学生1000人,请估计七年级在这天里发言次数大于等于12次的人数.
发言次数n | |
A | 0≤n<3 |
B | 3≤n<6 |
C | 6≤n<9 |
D | 9≤n<12 |
E | 12≤n<15 |
F | 15≤n<18 |