Question

（2012•成都模拟）智能手机如果安装了一款测量软件“Smart Measure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．
（1）若手机显示AC=1m，AD=1.8m，∠CAD=60°，求此时CD的高．（结果保留根号）
（2）对于一般情况，试探索手机设定的测量高度的公式：设AC=a，AD=b，∠CAD=α，即用a、b、α来表示CD．（提示：sin²α+cos²α=1）

Answer 1

分析：（1）作CH⊥AD于点H．在Rt△ACH中，根据三角函数可求AH=

1

2

，CH=

3

2

．从而得到HD=1.3．再根据勾股定理得到CD的高
（2）同（1）可得，AH=acosα，CH=asinα．从而得到HD=b-acosα．再根据勾股定理得到CD的高．

解答：解：（1）作CH⊥AD于点H．
在Rt△ACH中，∵AC=1，∠CAH=60°，
∴AH=

1

2

，CH=

3

2

．
∵AD=1.8，
∴HD=1.3．
∴CD=

CH2+HD2

=

2.44

=

61

5

（m）；

（2）同上可得，AH=acosα，CH=asinα．
∵AD=b，
∴HD=b-acosα．
∴CD=

CH2+HD2

=

a2sin2α+(b-acosα)2

=

a2+b2-2abcosα

．

点评：考查了解直角三角形的应用，本题关键是熟悉三角函数、勾股定理的知识．