题目内容
【题目】在△ABC 中，AB BC AC，∠A ∠B ∠C 60°．点 D、E 分别是边 AC、AB 上的点（不与 A、B、C 重合），点 P 是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点 P 在边 BC 上运动（不与点 B 和点 C 重合），如图⑴所示，则∠1+∠2 ．（用 α 的代数式表示）
（2）若点 P 在△ABC 的外部，如图⑵所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）当点 P 在边 BC 的延长线上运动时，试画出相应图形，并写出∠α、∠1、∠2 之间的关系式．（不需要证明）
【答案】（1）如图（1）60 α ；（2）∠2=60 ∠1 α；理由见解析；（3）如图（3）时，2 1 60 α，如图（4）时，∠2 ∠1=60 α.
【解析】
（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α=∠1-∠2+60°；
（3）利用三角外角的性质得出．需要分类讨论，如图所示．
（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，
∴∠1+∠2=∠A+α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠1+∠2=60°+α．
故答案是：60°+α；
（2）∠2=60 ∠1 α，
证明：如图（2），
∵ 1 是△POD 的外角，
∴∠1=α+∠POD，
∵∠POD=∠AOE，
∴∠1=α+∠AOE，
∴∠AOE=∠1，
∵∠2 是△AOE 的外角，
∴∠2=∠A ∠AOE，
∴∠2=60 ∠1 α；
（3）两种情况如下：
如图（3）时，2 1 60 α，
如图（4）时，∠2 ∠1=60 α.
