Question

如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。
（1）已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。
① 若AB为⊙O的直径，则∠APB=      
② 若⊙O半径为1，AB=，求∠APB的度数

（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，∠APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。

Answer 1

解：（1）①90⁰。

②如图，连接AB、OA、OB．

在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA²+OB²=AB²。
∴∠AOB=90°。
当点P在优弧 AB 上时（如图1），∠APB=∠AOB=45°；
当点P在劣弧 AB 上时（如图2），
∠APB=（360°－∠AOB）=135°。
（2）根据点P在⊙O₁上的位置分为以下四种情况．
第一种情况：点P在⊙O₂外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，

∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB。
第二种情况：点P在⊙O₂外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，

∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。
第三种情况：点P在⊙O₂外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，

∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。
第四种情况：点P在⊙O₂内，如图6，

∠APB=∠MAN+∠ANB。

解析