题目内容
【题目】如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)连接OC,先证明∠OAC=∠OCA,进而得到OC∥AE,于是得到OC⊥CD,进而证明DE是⊙O的切线;(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积,利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案.
试题解析:(1)连接OC, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵AC平分∠BAE, ∴∠OAC=∠CAE,
∴∠OCA=∠CAE, ∴OC∥AE, ∴∠OCD=∠E, ∵AE⊥DE, ∴∠E=90°, ∴∠OCD=90°, ∴OC⊥CD,
∵点C在圆O上,OC为圆O的半径, ∴CD是圆O的切线;
(2)在Rt△AED中, ∵∠D=30°,AE=6, ∴AD=2AE=12, 在Rt△OCD中,∵∠D=30°,
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC, ∴DB=OB=OC=AD=4,DO=8,
∴CD===4, ∴S△OCD===8, ∵∠D=30°,∠OCD=90°,
∴∠DOC=60°, ∴S扇形OBC=×π×OC2=, ∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=8﹣,
∴阴影部分的面积为8﹣.
练习册系列答案
相关题目