题目内容
【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD、CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝2：1时，求点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D（1，2）；（3）（
）或（﹣
）．
【解析】
（1）利用待定系数法求解析式即可得到答案，
（2）过点D作DH∥y轴交BC于点H，交x轴于点G，利用S△COF：S△CDF＝2：1得到OF：DF＝2：1，利用相似三角形的性质可得答案，
（3）分情况讨论：①当点P在x轴上方时，在y轴上取点G（1，0），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，则∠OBP＝2∠OBE，然后求解
的解析式，建立方程组求解即可，
②当点P在x轴下方时，作点M（0，
）关于x轴的对称点N（0，
），求解
的解析式，建立方程组求解即可．
解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得，
解得，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DH∥y轴交BC于点H，交x轴于点G，
∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
则
解得
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
∵S△COF：S△CDF＝2：1，
∴OF：DF＝2：1，
∵DH∥OC，
∴△OFC∽△DFH，
∴
∴OC＝2DH，
设D（a，﹣a2+a+2），则H（a，﹣a+2），
∴DH＝﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）＝﹣a2+2a，
∴2＝2（﹣a2+2a），
解得a＝1，
∴D（1，2）．
（3）①当点P在x轴上方时，
在y轴上取点G（1，0），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，
则∠OBP＝2∠OBE，
过点G作GH⊥BM，
∵E（0，﹣1），
∴OE＝OG＝GH＝1，
设MH＝x，则MG＝
，
在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
∴（+1）2+4＝（x+2）2，
解得：x＝
，
（舍去）
故MG＝＝
∴OM＝OG+MG＝
∴点M（0，），
将点B（2，0）、M（0，）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，
解得：
，
∴直线BM的表达式为：
∴
解得：
或x＝2（舍去），
∴点P
；
②当点P在x轴下方时，
作点M（0，）关于x轴的对称点N（0，），
同理可得：
直线BN的解析式为
∴
解得，
或x＝2（舍去），
∴点P
；
综合以上可得，点P的坐标为或．
