Question

【题目】如图，已知抛物线y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，P(s，t)为抛物线上A、B之间一点（不包括A、B），连接AP、BP分别交y轴于点E、D

（1）若m＝－1，求A、B两点的坐标

（2）若s＝1，求ED的长度

（3）若∠BAP＝∠ODP，求t的值

Answer 1

【答案】（1）A(－2，0)、B(1，0)（2）3（3） t＝－1

【解析】试题分析：（1）把m＝－1代入抛物线y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2得y＝x2＋x－2，令y=0得方程x2＋x－2=0，解得x=-2或x=1，即可得）A(－2，0)、B(1，0)；（2）先求得A、B两点的坐标，再表示出点P的坐标，分别求得直线AP、BP的解析式，从而求得DE的长；（3）由∠BAP＝∠ODP可得∠DPE＝∠AOE＝90°，过点P作PQ⊥x轴于Q，由射影定理得，t2＝(s－xA)(xB－s)，整理得s(xA＋xB)－s2－xAxB＝t2，根据根与系数的关系可得s·(2m＋1)－s2－(m－1)(m＋2)＝t2，把x＝s代入解得t值即可.

试题解析：

（1）A(－2，0)、B(1，0)

（2）∵y＝[x－(m＋2)][x－(m－1)]

∴A(m－1，0)、B(m＋2，0)

∵s＝1

∴P(1，m2－m－2)

∴直线AP的解析式为y＝－(m＋1)x＋m2－1

直线BP的解析式为y＝－(m－2)x＋m2－4

∴DE＝m2－1－(m2－4)＝3

（3） ∵∠BAP＝∠ODP

∴∠DPE＝∠AOE＝90°

过点P作PQ⊥x轴于Q

由射影定理得，t2＝(s－xA)(xB－s)

∴s(xA＋xB)－s2－xAxB＝t2

∴s·(2m＋1)－s2－(m－1)(m＋2)＝t2

当x＝s时，t＝s2－(2m＋1)s＋(m－1)(m＋2)

∴t2＝－t，解得t＝－1