题目内容
【题目】如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC;
(2)若△ABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.
【答案】
(1)证明:∵在△ACD中,DC=AC,CF平分∠ACD;
∴AF=FD,即F是AD的中点;
又∵E是AB的中点,
∴EF是△ABD的中位线;
∴EF∥BC
(2)解:由(1)易证得:△AEF∽△ABD;
∴S△AEF:S△ABD=(AE:AB)2=1:4,
∴S△ABD=4S△AEF=6,
∴S△AEF=1.5.
∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5
【解析】(1)在等腰△ACD中,CF是顶角∠ACD的平分线,根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点,由此可证得EF是△ABD的中位线,即可得到EF∥BC的结论;(2)易证得△AEF∽△ABD,根据两个相似三角形的面积比(即相似比的平方),可求出△ABD的面积,而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差,由此得解.
【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和三角形中位线定理,需要了解等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线;三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半才能得出正确答案.
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