题目内容
【题目】如图，在矩形
中，
，
，问：能否在
边上找一点
，使点与
、
的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形？若能找到，这样的点有几个？若不能找到，请说明理由．
【答案】
若
，
，
，方程无解，
点不存在；
若，当
时，
，方程有等根，满足条件的点有且只有一个；
若，
，则当
时，
，方程有两个不相等的正根，满足条件的点有两个.
【解析】
假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE=x，则
，即
，于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．
假设在
边上存在点，使
，
又设
，则，即，即得
∵
，所以有
若，，，方程无解，点不存在；
若，当时，，方程有等根，满足条件的点有且只有一个；
若，，则当时，，方程有两个不相等的正根，满足条件的点有两个.
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