Question

（本小题满分8分）如图，抛物线交x轴于A、B两点，顶点为C，经过A、B、C三点的圆的圆心为M.

⑴ 求圆心M的坐标；

⑵ 求⊙M上劣弧AB的长；

⑶ 在抛物线上是否存在一点D，使线段OC和MD互相平分？若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解：⑴3分 ，∵     ∴

∴对称轴为，顶点（1，-3）

又∵抛物线与轴交点（，0）、（，0）

∴

作抛物线对称轴交于点，则（1，0）

∴圆心在对称轴上，连接

∵⊙中，

∴

设⊙半径为，则

∵（1，-3）

∴

∴

∵中

∴  解得

∴

∵

∴圆心的坐标为（1，-1）

⑵3分，∵△BMN中，∠MNB＝90°，，

∴

∴∠NMB＝60°

∴∠AMB＝2∠NMB＝120°

∴⊙M上劣弧AB的长为

⑵ 2分，若线段OC和MD互相平分，则四边形必定是平行四边形

∴且

∵

∴点即为点向下平移2个单位得点

∴点坐标为（0，-2）

解析:这是一道关于圆与二次函数的综合题，有一定的难度，需要学生对所学知识综合利用。