Question

关于x的方程x²+2x+2

x2+2x+2p

-p2=0，其中p是实数．
（1）若方程没有实数根，求P的范围；
（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．

Answer 1

分析：（1）换元，令

x2+2x+2p

=y，把

x2+2x+2p

中根号下的数看成整体，再求p的范围；
（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．

解答：解：（1）令

x2+2x+2p

=y，①
则原方程变为y²+2y-（p²+2p）=0．（3分）
∵△=4+4（p²+2p）=4（p²+2p+1）=4（p+1）2≥0，
即y₁=p，y₂=-2-p．（6分）
若原方程没有实数根，只须

p＜0 -2-p＜0

解这个不等式组，得-2＜p＜0．（9分）

（2）∵p＞0，把y₁=p代入①，得

x2+2x+2p

=p②
而y₂=-2-p＜0，舍去．（11分）
将②式平方，整理得x²+2x-（p²-2p）=0．③（12分）
令△=4+4（p²-2p）=4（p²-2p+1）=4（p-1）²=0，解得p=1．（15分）
当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x²+2x+1=0，
∴x₁=x₂=-1．（17分）
经检验，当p=1时，x₁=x₂=-1是原方程的根．（18分）

点评：本题是换元法解无理方程，注意这个方程无解条件的讨论是解决本题的关键．