题目内容
【题目】在某次海上军事学习期间,我军为确保△OBC海域内的安全,特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域,在雷达显示图上,军舰B在军舰O的正东方向80海里处,军舰C在军舰B的正北方向60海里处,三艘军舰上装载有相同的探测雷达,雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域.(只考虑在海平面上的探测)
(1)若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控,则雷达的有效探测半径r至少为多少海里?
(2)现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域,在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上,同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上,求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里?
(3)若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域,我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截,问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A?
【答案】(1)雷达的有效探测半径r至少为50海里;(2)敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里;(3)B军舰速度至少为20海里/小时.
【解析】
试题分析:(1)在RT△OBC中,根据勾股定理求出OC,由题意r≥OC,由此得答案.(2)作AM⊥BC于M,先求得AB的长,在RT△ABM中求出AM的长即可得答案.(3)假设B军舰在点N处拦截到敌舰.在BM上取一点H,使得HB=HN,设MN=x,先列出方程求出x,再求出BN、AN利用不等式解决问题.
试题解析:(1)在RT△OBC中,∵BO=80,BC=60,∠OBC=90°,
∴OC=,
∵OC=×100=50
∴雷达的有效探测半径r至少为50海里.
(2)作AM⊥BC于M,
∵∠ACB=30°,∠CBA=60°,
∴∠CAB=90°,
∴AB=BC=30,
在RT△ABM中,∵∠AMB=90°,AB=30,∠BAM=30°,
∴BM=AB=15,AM=BM=15,
∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里.
(3)假设B军舰在点N处拦截到敌舰.在BM上取一点H,使得HB=HN,设MN=x,
∵∠HBN=∠HNB=15°,
∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°,
∴HN=HB=2x,MH=x,
∵BM=15,
∴15=x+2x,
x=30﹣15,
∴AN=30﹣30,
BN=,设B军舰速度为a海里/小时,
由题意,
∴a≥20.
∴B军舰速度至少为20海里/小时.