题目内容
【题目】已知抛物线(a>0)与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P是抛物线上一点,且PB=AB,∠PBA=120°,如图所示.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点,且在曲线PA上移动.
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,是否存在点M使△APM的面积为?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标.
【答案】(1);(2)①存在,M(3,);②M(,)或(,)时,|m|+|n|的最大值为.
【解析】
试题分析:(1)先求出A、B两点坐标,然后过点P作PC⊥x轴于点C,根据∠PBA=120°,PB=AB,分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标,最后将点P的坐标代入二次函数解析式即;
(2)①过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,分别用含m的式子表示点D、M的坐标,然后代入△APM的面积公式DMAC,根据题意列出方程求出m的值;
②根据题意可知:n<0,然后对m的值进行分类讨论,当﹣2≤m≤0时,|m|=﹣m;当0<m≤2时,|m|=m,列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值.
试题解析:(1)如图1,令y=0代入,∴,∵a>0,∴,∴x=±2,∴A(﹣2,0),B(2,0),∴AB=4,过点P作PC⊥x轴于点C,∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°,∵PB=AB=4,∴cos∠PBC=,∴BC=2,由勾股定理可求得:PC=,∵OC=OC+BC=4,∴P(4,),把P(4,)代入,∴=16a﹣4a,∴a=,∴抛物线解析式为:;
(2)∵点M在抛物线上,∴,∴M的坐标为(m,);
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,∴2≤m≤4,如图2,过点M作ME⊥x轴于点E,交AP于点D,设直线AP的解析式为y=kx+b,把A(﹣2,0)与P(4,)代入y=kx+b,得:,解得:,∴直线AP的解析式为:,令x=m代入,∴,∴D的坐标为(m,),∴DM==,∴S△APM=DMAE+DMCE
=DM(AE+CE)=DMAC=,当S△APM=时,∴=,∴解得m=3或m=﹣1,∵2≤m≤4,∴m=3,此时,M的坐标为(3,);
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,∴﹣2≤m≤2,n<0,当﹣2≤m≤0时,∴|m|+|n|=﹣m﹣n==,当m=时,∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为,此时,M的坐标为(,),当0<m≤2时,∴|m|+|n|=m﹣n==,当m=时,∴|m|+|n|可取得最大值,最大值为,此时,M的坐标为(,),综上所述,当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,M的坐标为(,)或(,)时,|m|+|n|的最大值为.