Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当点E与点A重合时，折痕EF的长为______；
（2）写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；
（3）令EF²=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）．

Answer 1

解：（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，
当点E与点A重合时，
∵点D与点P重合是已知条件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=，
∴折痕EF的长为 ．
故答案为：；

（2）∵要使四边形EPFD为菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有点E与点A重合时，EF最长为，此时x=1，
当EF最长时，点P与B重合，此时x=3，
∴探索出1≤x≤3
当x=2时，如图，连接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，设PE=m，则AE=2-m
∵在△ADE中，∠DAP=90°，
∴AD²+AE²=DE²，即1²+（2-m）²=m²，
解得 m=1.25，此时菱形EPFD的边长为1.25；
（3）过E作EH⊥BC；

∵∠EDO+∠DOE=90°，∠FEO+∠EOD=90°，
∴∠ODE=∠FEO，
∴△EFH∽△DPA，
∴，
∴FH=3x；
∴y=EF²=EH²+FH²=9+9x²；
当F与点C重合时，如图，连接PF；
∵PF=DF=3，
∴PB=，
∴0≤x≤3-2．
分析：（1）当点E与点A重合时，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案即可；
（2）结合EF的长度得出x的取值范围，当x=2时，设PE=m，则AE=2-m，利用勾股定理得出答案；
（3）构造直角三角形，利用相似三角形的对应线段成比例确定y的值．
点评：此题是一道综合性较强的题目，主要考查学生的图感，利用折叠过程中的等量关系寻找解题途径；特别是最后一问中涉及到的知识点比较多，需要同学们利用相似三角形的性质确定函数关系式．