题目内容

【题目】数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).

(1)初步尝试

如图1,若AD=AB,求证:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;

(2)类比发现

如图2,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:AE=2FH;

(3)深入探究

如图3,若AD=3AB,探究得:的值为常数t,则t=

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)①先证明△ABC,△ACD都是等边三角形,再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题.②根据①的结论得到BE=AF,由此即可证明.

(2)设DH=x,由由题意,CD=2x,CH=x,由△ACE∽△HCF,得由此即可证明.

(3)如图3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM与AD交于点H.先证明△CFN∽△CEM,得,由ABCM=ADCN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以=,设CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,想办法求出AC,AE+3AF即可解决问题.

试题解析:解;(1)①四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=120°,∠D=∠B=60°,AD=AB,△ABC,△ACD都是等边三角形,∠B=∠CAD=60°,∠ACB=60°,BC=AC,∠ECF=60°,∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°,∠BCE=∠ACF,在△BCE和△ACF中,∵∠B=CAF,BC=AC,∠BCE=∠ACF△BCE≌△ACF

△BCE≌△ACF,BE=AF,AE+AF=AE+BE=AB=AC

(2)设DH=x,由由题意,CD=2x,CH=x,AD=2AB=4x,AH=AD﹣DH=3x,CH⊥AD,AC==x,∠ACD=90°,∠BAC=∠ACD=90°,∠CAD=30°,∠ACH=60°,∠ECF=60°,∠HCF=∠ACE,△ACE∽△HCF,=2,AE=2FH.

(3)如图3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM与AD交于点H.

∠ECF+∠EAF=180°,∠AEC+∠AFC=180°,∠AFC+∠CFN=180°,∠CFN=∠AEC,∠M=∠CNF=90°,△CFN∽△CEM,ABCM=ADCN,AD=3AB,CM=3CN,=,设CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,∠MAH=60°,∠M=90°,∠AHM=∠CHN=30°,HC=2a,HM=a,HN=a,AM=a,AH=a,AC==a,AE+3AF=(EM﹣AM)+3(AH+HN﹣FN)=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a,==.故答案为:

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