题目内容
【题目】如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.
阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：
(1)如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
(2)已知三角形ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG的面积．
【答案】(1)见解析;(2) 18或
.
【解析】
（1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面积为36，求出AM=6．再设AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式
，由此求出x的值，进而求解即可．
解 (1)如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；
(2)在长方形DEFG中，如果DE＝2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N.
∵三角形ABC的面积＝
BC·AM＝×12AM＝36，
∴AM＝6.
设AN＝x，则MN＝6－x，DG＝MN＝6－x，DE＝GF＝2(6－x)＝12－2x.
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴
＝
，
∴
＝
，
解得x＝3，
∴DG＝6－x＝3，DE＝2DG＝6，
∴长方形DEFG的面积＝6×3＝18；
在长方形DEFG中，如果DG＝2DE，同理求出x＝
，
∴DG＝6－x＝
，DE＝DG＝
，
∴长方形DEFG的面积＝×＝.
故长方形DEFG的面积为18或.
故答案为：(1)见解析;(2) 18或.
