Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）求证：AB：AC=BF：DF．

Answer 1

证明：（1）连接DO、DA，

∵AB为⊙O直径，∴∠CDA=∠BDA=90°。
∵CE=EA，∴DE=EA。∴∠1=∠4。
∵OD=OA，∴∠2=∠3。
∵∠4+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即：∠EDO=90°。
∴DE⊥OD。
∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线。
（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠DBA。
∵∠CDA=∠BDA=90°，∴△ABD∽△CAD。
∴。
∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，
又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO。∴∠3=∠FDB。
∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB。∴。
∴，即AB：AC=BF：DF。

试题分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△ABD∽△CAD，刘，证△FAD∽△FDB，得，即可得出AB：AC=BF：DF。