Question

【题目】如图，A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．

（1）若该抛物线经过原点O，且a=﹣ ，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，点P（m，n）在抛物线上，且∠POB锐角，满足∠POB+∠BCD＜90°，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点D作DF⊥x轴，垂足为F．

∵∠ABD=90°，

∴∠DBF+∠ABO=90°．

又∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠OAB．

由旋转的性质可知AB=BD．

在△AOB和△BFD中 ，

∴△AOB≌△BFD．

∴DF=OB=1，AO=BF=2．

∴D（3，1）．

把点D和点O的坐标代入y=﹣ x2+bx+c得： ，解得：b= ，c=0．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x

（2）

解：如图2所示：

∵点A（0，2），B（1，0），C为线段AB的中点，

∴C（ ，1）．

∵C、D两点的纵坐标为1，

∴CD∥x轴．

∴∠BCD=∠ABD．

∴当∠POB=∠BAO时，恰好∠POB+∠BCD=90°．

设点P的坐标为（m，﹣ m2+ m）．

当点P在x轴上且∠POB=∠BAO时，则tan∠POB=tan∠BAO= ，

即 = ，解得：m= 或m=0（舍去）．

当点P位于x轴的下方，点P′处时，且∠POB=∠BAO时，则tan∠POB=tan∠BAO= ，

即 = ，解得：m= 或m=0（舍去）．

由图形可知：当点P在抛物线上P与P′之间移动时，∠POB+∠BCD＜90°，

∴m的取值范围是： ＜m＜

【解析】（1）过点D作DF⊥x轴，垂足为F．先证明△AOB≌△BFD，于是可得到D（3，1），将a=﹣ 以及点D和点O的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）先证明CD∥x轴，依据题意可知：当∠POB=∠BAO时，恰好∠POB+∠BCD=90°，设点P的坐标为（m，﹣ m2+ m），由∠POB=∠BAO，可得到tan∠POB= ，据此可得到关于m的方程，从而可求得m的值，最后依据图形可得到当∠POB+∠BCD＜90°时，m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．