题目内容
【题目】如图,A(0,2),B(1,0),点C为线段AB的中点,将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点D.
(1)若该抛物线经过原点O,且a=﹣ ,求该抛物线的解析式;
(2)在(1)的条件下,点P(m,n)在抛物线上,且∠POB锐角,满足∠POB+∠BCD<90°,求m的取值范围.
【答案】
(1)
解:过点D作DF⊥x轴,垂足为F.
∵∠ABD=90°,
∴∠DBF+∠ABO=90°.
又∵∠OAB+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠OAB.
由旋转的性质可知AB=BD.
在△AOB和△BFD中 ,
∴△AOB≌△BFD.
∴DF=OB=1,AO=BF=2.
∴D(3,1).
把点D和点O的坐标代入y=﹣ x2+bx+c得:
,解得:b=
,c=0.
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+
x
(2)
解:如图2所示:
∵点A(0,2),B(1,0),C为线段AB的中点,
∴C( ,1).
∵C、D两点的纵坐标为1,
∴CD∥x轴.
∴∠BCD=∠ABD.
∴当∠POB=∠BAO时,恰好∠POB+∠BCD=90°.
设点P的坐标为(m,﹣ m2+
m).
当点P在x轴上且∠POB=∠BAO时,则tan∠POB=tan∠BAO= ,
即 =
,解得:m=
或m=0(舍去).
当点P位于x轴的下方,点P′处时,且∠POB=∠BAO时,则tan∠POB=tan∠BAO= ,
即 =
,解得:m=
或m=0(舍去).
由图形可知:当点P在抛物线上P与P′之间移动时,∠POB+∠BCD<90°,
∴m的取值范围是: <m<
【解析】(1)过点D作DF⊥x轴,垂足为F.先证明△AOB≌△BFD,于是可得到D(3,1),将a=﹣ 以及点D和点O的坐标代入抛物线的解析式求解即可;(2)先证明CD∥x轴,依据题意可知:当∠POB=∠BAO时,恰好∠POB+∠BCD=90°,设点P的坐标为(m,﹣
m2+
m),由∠POB=∠BAO,可得到tan∠POB=
,据此可得到关于m的方程,从而可求得m的值,最后依据图形可得到当∠POB+∠BCD<90°时,m的取值范围.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小即可以解答此题.
