Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠ABC+∠ADC=120°，将一透明三角板60°角的顶点落在点A上，并绕着点A旋转，三角板的两边分别交BC、CD于点E、F．

（1）如图1，求∠BAD的度数；

（2）如图2，求证：BE+DF=AB；

（3）如图3，在（2）的条件下，取AB中点G，作等边△EGH，连接AH，延长GH刚好与平行四边形ABCD交于点D，若AH⊥AB，△EGH的面积为．求DH的长．

Answer 1

【答案】（1）120° （2）证明见解析 （3）

【解析】

（1）根据菱形和平行线的性质可得，再根据，可得，即可求出的度数；

（2）连接AC，根据菱形的性质和三角板的性质可得△ACD和△ABC是等边三角形，即可证明，可得，即可得证；；

（3）延长AH与CD交于点O，连接AC、OG，通过证明四边形AGOD是平行四边形，可得，再根据勾股定理求出GH的长度即可．

（1）∵四边形ABCD是菱形

∴

∵

∴

∴；

（2）连接AC

根据三角板的性质得

∵四边形ABCD是菱形，

∴

∴△ACD和△ABC是等边三角形

∴

∴

在△ACE和△ADF中

∴

∴

∴

∴；

（3）延长AH与CD交于点O，连接AC、OG

∵

∴

∴

∴

∴

∵四边形ABCD是菱形

∴

∴△ACD是等边三角形

∴

∵G是AB的中点

∴

∴四边形AGOD是平行四边形

∴GH、HD是平行四边形AGOD的对角线

∴

∵△EGH是等边三角形，△EGH的面积为

∴

解得

∴ ．