题目内容
如图四边形ABCD中,AD=DC.∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DF⊥AC,垂足为F.DF与AB相交于E.设AB=15,BC=9,P是射线DF上的动点.当△BCP的周长最小时,DP的长为( )
A、12 | B、12.5 | C、13 | D、13.5 |
分析:先根据△ABC是直角三角形可求出AC的长,再根据AD=DC,DF⊥AC可求出AF=CF=
AC,故点C关于DE的对称点是A,故E点与P点重合时△BCP的周长最小,再根据DE⊥AC,BC⊥AC可知,DE∥BC,由相似三角形的判定定理可知△AEF∽△ABC,利用相似三角形的对应边成比例可得出AE的长,同理,利用△AED∽△CBA即可求出DE的长.
1 |
2 |
解答:解:∵∠ACB=90°,AB=15,BC=9,
∴AC=
=
=12,
∵AD=DC,DF⊥AC,
∴AF=CF=
AC=6,
∴点C关于DE的对称点是A,故E点与P点重合时△BCP的周长最小,
∴DP=DE,
∵DE⊥AC,BC⊥AC,
∴DE∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴
=
,即
=
,解得AE=
,
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠ABC,
∵∠DAB=∠ACB=90°,
∴Rt△AED∽Rt△CBA,
∴
=
,即
=
,解得DE=
=12.5,即DP=12.5.
故选B.
∴AC=
AB2-BC2 |
152-92 |
∵AD=DC,DF⊥AC,
∴AF=CF=
1 |
2 |
∴点C关于DE的对称点是A,故E点与P点重合时△BCP的周长最小,
∴DP=DE,
∵DE⊥AC,BC⊥AC,
∴DE∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴
AF |
AC |
AE |
AB |
6 |
12 |
AE |
15 |
15 |
2 |
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠ABC,
∵∠DAB=∠ACB=90°,
∴Rt△AED∽Rt△CBA,
∴
AE |
BC |
DE |
AB |
| ||
9 |
DE |
15 |
25 |
2 |
故选B.
点评:本题考查的是轴对称-最短线路问题及相似三角形的判定与性质,根据轴对称的性质得出DE=DP是解答此题的关键.
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