Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2﹣4ax+3a的对称轴交于点A（m，﹣1），点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的对称轴及a的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为W．

①当k＝1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）①2；②或.

【解析】

（1）抛物线变形为顶点式求出对称轴x=2与顶点坐标（2,1），代入即可求a；（2）如图所示，①当时，区域内的整点个数为2个；②，当直线过，或过整点，，分别求出其b值，再求出其取值范围；当，由对称性可得b的取值范围.

∴的取值范围是：或．

解：（1）变形得：.

∴对称轴为．

∴点的坐标为可得抛物线顶点为

把点坐标代入抛物线可得：．

（2）①当时，区域内的整点个数为2个．

②若，

当直线过，时，．

当直线过，时，．

∴．

若，

由对称性可得： ．

∴的取值范围是：或．