题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD是∠ABC的平分线,点O在AB上,⊙O经过B,D两点,交BC于点E.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AB=6,sin∠BAC=,求BE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)3.2.
【解析】试题分析:(1)连接DO,由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠1=∠3,证出DO∥BC,由平行线的性质得出∠ADO=90°,即可得出结论;
(2)设⊙O的半径为R,由三角函数求出BC,由平行线得出△AOD∽△ABC,得出对应边成比例,求出半径OD,过O作OF⊥BC于F,则BE=2BF,如图所示:则OF∥AC,由平行线的性质得出∠BOF=∠BAC,由三角函数求出BF,即可得出结果.
试题解析:(1)连接DO,如图1所示
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠1=∠2,
∵OB=OD,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴DO∥BC,
∵∠C=90°,
∴∠ADO=90°,
即AC⊥OD,
∴AC是⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为R,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sin∠BAC=,
∴BC=×6=4,
由(1)知,OD∥BC,
∴△AOD∽△ABC,
∴,
∴,
解得:R=2.4,
过O作OF⊥BC于F,如图所示:
则BE=2BF,OF∥AC,
∴∠BOF=∠BAC,
∴sin∠BOF=,
∴BF=×2.4=1.6,
∴BE=2BF=3.2.
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