题目内容
如图,点A、E是⊙O上的点,等边△ABC的边BC与Rt△CDE的边CD都在⊙O的直径MN上,且O为BC中点,DE⊥CD,CE∥AB,若CD=1,则⊙O 的半径( )
A. B. C. D. 4
A. B. C. D. 4
C
延长ED交⊙O于点F,连接OA,OF,由平行线的性质可知∠ECD=60°,故在Rt△ECD中可求出EN的长,再由垂径定理可得出ED=DF,由等边三角形的性质可知AO⊥MN,∠OAC=30°,OA=r,可用r表示出OC的长,在Rt△ODF中,利用勾股定理即可求出r的长.
解:延长ED交⊙O于点F,连接OA,OF,
∵DE⊥CD,CE∥AB,CD=1,
∴∠ECD=60°,∠CED=30°,
∴CE=2CD=2,
∴ED===,
∴DF=ED=,
∵△ABC是等边三角形,O为BC的中点,
∴AO⊥MN,
∴∠OAC=30°,
设OA=r,则OC=,
在Rt△ODF中,
OF2=DF2+OD2,即r2=()2+(+1)2,解得r=2.
故选C.
本题考查的是垂径定理、勾股定理及等边三角形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
解:延长ED交⊙O于点F,连接OA,OF,
∵DE⊥CD,CE∥AB,CD=1,
∴∠ECD=60°,∠CED=30°,
∴CE=2CD=2,
∴ED===,
∴DF=ED=,
∵△ABC是等边三角形,O为BC的中点,
∴AO⊥MN,
∴∠OAC=30°,
设OA=r,则OC=,
在Rt△ODF中,
OF2=DF2+OD2,即r2=()2+(+1)2,解得r=2.
故选C.
本题考查的是垂径定理、勾股定理及等边三角形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
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