题目内容
如图，已知⊙O中，弦BC=8，A是 |
| BAC |
| 3 |
| ||
| 3 |
|
| BDC |
（1）求证：AB2=AE•AD；
（2）当M在
|
| BDC |
（3）若F是CB延长线上一点，FA交⊙O于G，当AG=8时，求sin∠AFB的值．
分析：（1）连接BD，由等弧对等角得∠ABC=∠ABD，故可得△ABE∽△ADB，有
=
即AB2=AE•AD；
（2）连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，则有
=
即AN•AM=AB2，而AB2=AE•AD，所以AN•AM=AE•AD为定值．由相交弦定理知AN•NM=BN•CN=BN（8-BN）=-（BN-4）2+16，故由二次函数的性质知，AN•NM有最大值为16；
（3）作直径AH交BC于K，连接GH，由勾股定理可求得AK的值，由相交弦定理知AK•KH=BK•KC求得KH的值，由同角的余角相等知，∠F=∠H，从而有sinF=sinH=AG：AH而求得sinF的值．
| AB |
| AE |
| AD |
| AB |
（2）连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，则有
| AB |
| AM |
| AN |
| AB |
（3）作直径AH交BC于K，连接GH，由勾股定理可求得AK的值，由相交弦定理知AK•KH=BK•KC求得KH的值，由同角的余角相等知，∠F=∠H，从而有sinF=sinH=AG：AH而求得sinF的值．
解答：（1）证明：连接BD，
∵
=
，
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴
=
．
∴AB2=AE•AD．
（2）解：连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，
则
=
，
∴AN•AM=AB2．
∴AN•AM=AE•AD=5
(
+5
)=80，
即AN•AM为定值，设BN=x，则CN=（8-x），
由相交弦定理看得：AN•NM=BN•CN=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，（8分）
故当BN=x=4时，AN•NM有最大值为16．
（3）解：过点A作直径AH交BC于K，连接GH，
∵A是
的中点，
∴AH⊥BC，且BK=KC=4．
∴AK2=AB2-BK2=80-16=64．
∴AK=8．
又由AK•KH=BK•KC得：KH=
=2．
∴AH=10．
又∵∠AGH=∠BKA=90°，且∠GAH=∠KAF，
∴∠F=∠H．（11分）
∴sinF=sinH=
=
=
．
∵
|
| AB |
|
| AC |
∴∠ABC=∠ADB．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴
| AB |
| AE |
| AD |
| AB |
∴AB2=AE•AD．
（2）解：连接BM，同（1）可证△ABM∽△ANB，
则
| AB |
| AM |
| AN |
| AB |
∴AN•AM=AB2．
∴AN•AM=AE•AD=5
| 3 |
| ||
| 3 |
| 3 |
即AN•AM为定值，设BN=x，则CN=（8-x），
由相交弦定理看得：AN•NM=BN•CN=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，（8分）
故当BN=x=4时，AN•NM有最大值为16．
（3）解：过点A作直径AH交BC于K，连接GH，
∵A是
|
| BAC |
∴AH⊥BC，且BK=KC=4．
∴AK2=AB2-BK2=80-16=64．
∴AK=8．
又由AK•KH=BK•KC得：KH=
| 4×4 |
| 8 |
∴AH=10．
又∵∠AGH=∠BKA=90°，且∠GAH=∠KAF，
∴∠F=∠H．（11分）
∴sinF=sinH=
| AG |
| AH |
| 8 |
| 10 |
| 4 |
| 5 |
点评：本题利用了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，相交弦定理，二次函数的性质，直角三角形的性质，同角的余角相等，正弦的概念求解．
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