Question

已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax²+bx+c=0的两个根；
（2）写出当y大于0时x的取值范围；
（3）x为何值时，y随x的增大而增大；
（4）若方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意先求得二次函数的解析式，令y=0，求出x，即为方程的两个根；
（2）当y大于0时，即图象在一二象限内的部分，从而得出x的取值范围．
（3）抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；
（4）将方程ax²+bx+c=k化为一般式，当判别式大于0时，再求得k的取值范围即可．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-h）²+k，
根据题意得h=-1，k=2，再将（-3，0）代入y=a（x+1）²+2，
解得a=-

1

2

，
∴二次函数的解析式为y=-

1

2

（x+1）²+2，
即y=-

1

2

x²-x+

3

2

，
令y=0，解得x=1或-3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0）（-3，0），
∴方程ax²+bx+c=0的两个根为x₁=1，x₂=-3；
（2）由图象和（1）得当-3＜x＜1时，y的值大于0；
（3）当x＜-1时，y随x的增大而增大；
（4）由图可知，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（-3，0），与y轴交于点（0，1.5），对称轴为x=1．
∴抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为（1，0）．
∴可列方程组为

9a-3b+1.5=0 a+b+1.5=0

解得

a=- 1 2 b=-1 ，

∴解析式为y=-

1

2

x2-x+

3

2

．
∵ax²+bx+c=k，
∴ax²+bx+c-k=0．
∵方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，
∴b²-4a（c-k）＞0．
解得k＜2．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质以及抛物线与x轴的交点问题，是重点内容，要熟练掌握．