Question

【题目】襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y= ．
（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；
（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当40≤x＜60时，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200，

当60≤x≤70时，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400

（2）

解：当40≤x＜60时，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，

∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；

当60≤x≤70时，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，

∴当x＞55时，W随x的增大而减小，

∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：﹣（60﹣55）2+625=600，

∵800＞600，

∴当x=50时，W取得最大值800，

答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元

（3）

解：当40≤x＜60时，由W≥750得：﹣2（x﹣50）2+800≥750，

解得：45≤x≤55，

当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，

∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55

【解析】（1）根据：年利润=（售价﹣成本）×年销售量，结合x的取值范围可列函数关系式；（2）将（1）中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况，比较后可得答案；（3）根据题意知W≥750，可列关于x的不等式，求解可得x的范围．本题主要考查二次函数的实际应用，梳理题目中的数量关系，得出相等关系后分情况列出函数解析式，熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键．